Note sulla logica: Difference between revisions

<div style="width: 65%; margin: 0 auto;">[[#nol-5|V. Principi di simbolismo: cosa simboleggia in un simbolo. Fatti tramite fatti]]</div>

In filosofia non si danno deduzioni; solo descrizioni. Il termine “filosofia” dovrebbe sempre riferirsi a qualcosa che sta sopra o sotto, non accanto, le scienze naturali. [''Vedi'' 4.111] La filosofia non fornisce immagini della realtà, non conferma né confuta ricerche scientifiche. Consiste di logica, suo fondamento, e di metafisica. L’epistemologia è la filosofia della psicologia. [''Vedi'' 4.1121] Diffidare della grammatica è il requisito primo della pratica filosofica. La filosofia è lo studio della forma logica delle proposizioni scientifiche (non solo delle proposizioni primitive). Una spiegazione corretta delle proposizioni logiche darà conto del loro distinguersi da ogni altra proposizione. [6.112]

Quanto corrisponde alla realtà in una proposizione dipende dalla sua verità o falsità. Noi però dobbiamo essere in grado di comprendere una proposizione senza sapere se è vera o falsa. Ciò che sappiamo se comprendiamo una proposizione è: come starebbero le cose se fosse vera e come starebbero le cose se fosse falsa. Ma non necessariamente sappiamo se è vera o falsa. [''Cfr.'' 4.024]

Per essenza ogni proposizione è vero-falsa. Dunque una proposizione ha due poli (corrispondenti l’uno al caso in cui sia vera e l’altro al caso in cui sia falsa). Ciò noi chiamiamo ''senso'' di una proposizione. ''Significato'' di una proposizione è il fatto che le corrisponde. Nucleo della mia teoria è che ''p ha lo stesso significato di non-p'' (costituente = particolare, componente = particolare o relazione, etc.). [''Cfr.'' 4.0621]

Né senso né significato di una proposizione sono cose. Qui le parole sono simboli incompleti. È evidente che comprendiamo proposizioni senza sapere se sono vere o false. Ma soltanto sapendo se la proposizione è vera o falsa possiamo conoscerne il significato. Ciò che comprendiamo è il senso della proposizione. Per comprendere una proposizione p non basta sapere che p implica “p è vero”, dobbiamo anche sapere che ~p implica “p è falso”. Così emerge la bipolarità della proposizione. Comprendiamo una proposizione quando ne comprendiamo i costituenti e le forme. [''Cfr.'' 4.204] Se conosciamo il significato di “a” e di “b” e se sappiamo cosa significa “xRy” per tutti i valori possibili di x e y, allora comprendiamo anche “aRb”. Comprendo la proposizione aRb quando so che gli corrisponde il fatto che aRb oppure il fatto che non aRb; ciò però non va confuso con l’opinione falsa per cui comprendo “aRb” se so che le cose stanno “aRb o non aRb”.

A essere pignoli, è sbagliato dire che comprendiamo la proposizione p quando sappiamo che “p è vero” ≡p; in realtà le cose starebbero naturalmente così se per caso le due proposizioni ai lati del simbolo ≡ fossero entrambe vere o entrambe false. Noi non richiediamo solo equivalenza ma equivalenza formale, legata all’introduzione della forma di p. Ciò che serve è l’equivalenza formale delle forme della preposizione, cioè di tutti indefinibili generali presenti.

Ci sono ''fatti positivi'' ''e'' ''negativi'': se la proposizione “Questa rosa non è rossa” è vera, allora la sua significazione è negativa. Ma non è l’occorrenza della parola “non” a indicarcelo, se già non sappiamo che la significazione della proposizione “Questa rosa è rossa” (quando è vera) è positiva. Solo basandoci sia sulla negazione sia sulla proposizione negata, possiamo trarre conclusioni sulla significazione dell’intera proposizione. (Qui non parliamo delle negazioni delle proposizioni ''generali'', cioè di quelle che contengono variabili evidenti. Fatti negativi giustificano solo negazioni di proposizioni atomiche.) I fatti possono essere positivi e negativi ma non veri e falsi.

Se soprassediamo su come le proposizioni hanno un ''senso'' indipendente dalla loro verità o falsità, diventa facile convincersi che vero e falso siano due relazioni ugualmente giustificate tra il segno e ciò che viene significato. (Potremmo dire per esempio che “q” significa in modo vero ciò che “non-q” significa in modo falso.) Ma vero e falso non sono in realtà ugualmente giustificati? Non potremmo esprimerci servendoci di proposizioni false allo stesso modo con cui finora ci siamo serviti di proposizioni vere, a patto solo di sapere che vanno intese falsamente? No, poiché una proposizione è vera quando le cose stanno come asserisce; e di conseguenza se con “q” intendiamo “non-q”, e le cose stanno come intendiamo affermare, allora nella nuova interpretazione “q” è in realtà vero e ''non'' falso. [4.061-2] Ma l’essere in grado affermare la stessa cosa sia tramite “q” sia tramite “non-q” è importante, perché mostra che non è al “non” né al modo con cui “non” si combina a “q” che corrisponde una caratteristica della denotazione di “q”. [''Cfr.'' 4.0621]

Un’analogia per la teoria della verità: consideriamo una macchia nera su un foglio bianco. Si può descrivere la forma della macchia dicendo, per ogni punto della superficie, se è bianco o nero. Al fatto che un punto è nero corrisponde un fatto positivo; al fatto che un punto è bianco (non nero) corrisponde un fatto negativo. Indicare un punto sulla superficie (uno dei “valori di verità” di Frege) è come creare un’ipotesi da verificare. Ma per poter dire di un punto se è bianco o nero, devo prima sapere quand’è che un punto va chiamato nero e quand’è che va chiamato bianco. Per essere in grado di dire che “p” è vero (o falso), devo prima aver stabilito in quali circostanze considerare una proposizione vera, e in tal modo determino il ''senso'' di una proposizione. L’analogia inciampa qui: posso indicare un punto del foglio che è sia bianco sia nero, ma a una proposizione priva di senso non corrisponde nulla, poiché non designa una qualche cosa (valore di verità) le cui proprietà possono essere dette “false” o “vere.” Il verbo di una proposizione non è “è vero” o “è falso”, come ritiene Frege, ma ciò che è vero deve già contenere il verbo. [''Cfr.'' 4.063]

Si è tentati di interpretare “non-p” come “tutto il resto, solo non p.” Che da un singolo fatto p ne derivino infiniti altri, non-non-p etc., riesce poco plausibile. [''Vedi'' 5.43] L’uomo ha l’abilità innata di costruire simboli con cui esprimere ''un qualche'' senso senza avere la minima idea di cosa significhino le singole parole. [''Cfr.'' 4.002] Un esempio preclaro è la matematica, fino a un’epoca recente ci si è serviti di simboli numerici senza sapere cosa significassero o che non significassero nulla.

Il segno di giudizio è logicamente del tutto privo di significato. Mostra solo, in Frege, Whitehead e Russell, che si considera vera la proposizione così indicata. Quindi “<math>\vdash</math>” ha tanto poco a che fare con la proposizione quanto (per esempio) il numero della proposizione. Una proposizione non può asserire di essere vera. [''Cfr.'' 4.442] L’asserzione è un fatto puramente psicologico. Si danno solo proposizioni non asserite. Giudizio, ordine o domanda stanno sullo stesso piano; ma hanno in comune la forma proposizionale, nostro unico interesse. Alla logica pertengono solo proposizioni non asserite. Quando diciamo che A giudica la tal cosa etc., dobbiamo menzionare un’intera proposizione giudicata da A. Non basterà menzionarne i costituenti né questi ultimi insieme alla forma ma nell’ordine errato. Ciò mostra che una proposizione deve essere presente nell’affermazione da cui risulta essere giudicata. Per esempio, in qualunque modo si spieghi “non-p”, la domanda “Che cosa viene negato” deve avere un significato. In “A giudica (che) p”, non si può sostituire a p un nome proprio. Questo riesce evidente se riformuliamo così: “A giudica che p è vero e non-p falso.” La proposizione “A giudica (che) p” consiste del nome proprio A, della proposizione p con i suoi due poli, e della relazione specifica tra A e i due poli. Naturalmente non si tratta di relazione in senso ordinario. Qualunque teoria corretta del giudizio deve rendermi impossibile giudicare che “questo tavolo portapenna il libro” (la teoria di Russell non soddisfa tale requisito). [''Cfr.'' 5.5422] La struttura della proposizione va riconosciuta, il resto è facile. Il linguaggio ordinario però cela la struttura della proposizione: fa sembrare le relazioni predicati, i predicati nomi, etc.

Un motivo per ipotizzare che non tutte le proposizioni con più di un argomento sono proposizioni relazionali è che, se lo fossero, relazioni di giudizio e inferenza dovrebbero mantenersi tra un numero arbitrario di cose. L’idea che le proposizioni siano nomi di complessi ha suggerito che qualunque cosa che non sia un nome proprio indichi una relazione. Per esempio Russell considera ogni fatto come un complesso spaziale e poiché i complessi spaziali sono composti solo di cose e relazioni è convinto che ogni fatto lo sia.

Siamo spesso portati a formulare spiegazioni delle funzioni logiche delle proposizioni che mirano a introdurre nella funzione o solo i costituenti di queste proposizioni oppure soltanto la loro forma, etc. Finiamo così per soprassedere su come il linguaggio ordinario non conterrebbe intere proposizioni se non ne avesse bisogno.

I nomi sono punti, le proposizioni frecce - hanno ''senso''. [''Cfr.'' 3.144] Il senso di una proposizione è determinato dai due poli ''vero'' e ''falso''. La forma di una proposizione è come una retta che divide tutti i punti di un piano alla sua destra e alla sua sinistra. La retta lo fa automaticamente, la forma della proposizione solo per convenzione. È sbagliato concepire ogni proposizione quale espressione di una relazione. Una soluzione classica di tale impasse consiste nel considerare “non-p” come contrario di “p”, dove quindi “contrario” significherebbe la relazione indefinibile. È evidente che qualunque tentativo di rimpiazzare funzioni dotate di senso (funzioni ab) con descrizioni fallirà.

Nel dire “A crede p” in effetti si ha l’impressione di poter sostituire “p” con un nome proprio. Ma ci accorgiamo che qui ne va di un ''senso'', non di un significato, se diciamo invece “A crede che p è vero” oppure, per rendere ancora più esplicita la direzione di p, “A crede che p è vero e non-p falso.” Qui si esprime la bipolarità di p e ci sembra di poter esprimere correttamente la proposizione “A crede che p” soltanto con la notazione ab (spiegata in seguito) ovvero mettendo “A” in relazione ai poli “a” e “b” di a-p-b. Non si possono risolvere questioni epistemologiche sulla natura del giudizio e della credenza senza una comprensione piena della forma proposizionale.

Una proposizione è una misura riferita a fatti, ma con i nomi la situazione cambia. Come una freccia si rapporta a un’altra freccia indicando nello stesso senso o in quello contrario, così un fatto si rapporta a una proposizione; entrano dunque in gioco bipolarità e senso. Secondo questa teoria p e non-p hanno identico significato ma senso contrario. Il significato è il fatto. Una corretta teoria del giudizio deve rendere impossibile giudicare ciò che è privo di senso. [''Cfr.'' 5.5422] Il “senso di” una funzione ab di una proposizione è una funzione del suo senso. [''Cfr.'' 5.2341] In non-p, p è proprio come se stesse da solo (questo è un punto cruciale). Tra i fatti che rendono “p o q” vero ci sono anche fatti che rendono “p e q” vero; quindi, se le proposizioni hanno soltanto significato, in simili casi dovremmo dire che le due proposizioni in questione sono identiche. Ma in realtà il loro senso è diverso e abbiamo introdotto il senso parlando di tutti i p e di tutti i q. Ne consegue che le proposizioni molecolari andranno usate solo in casi in cui la loro funzione ab ricorre sotto un segno di generalità o si inserisce in un’altra funzione come “Io credo che” etc., poiché allora entra in gioco il senso.

Non è detto che, formate tutte le proposizioni atomiche possibili, “se di ognuna dichiarassimo la verità o la falsità, il mondo risulterebbe completamente descritto” (Russell). [''Cfr.'' 4.26] Se si desse un mondo in cui sono veri i principi logici, lì tutta la matematica sarebbe vera sempre. Non si può creare un mondo in cui è vera una proposizione a meno di non creare anche i suoi costituenti.

Gli indefinibili sono di due tipi: nomi e forme. Le proposizioni non possono consistere solo di nomi, non possono essere classi di nomi. [''Cfr.'' 5.123] Non solo un nome può figurare in due proposizioni diverse, ma in entrambe può figurare allo stesso modo. Le proposizioni, che sono simboli riferiti a fatti, sono pure dei fatti (che questo calamaio è su questo tavolo può esprimere che io sto seduto su questa sedia). Dobbiamo essere in grado di comprendere proposizioni che non abbiamo mai sentito prima. Ogni proposizione però è un simbolo nuovo. Ci servono quindi simboli indefinibili ''generali''; disporne è inevitabile, se le proposizioni non sono tutte indefinibili. Solo una teoria degli indefinibili generali permette la comprensione della natura delle funzioni. Trascurare tale teoria ci porterebbe in un vicolo cieco.

Una proposizione deve essere compresa quando ''tutti'' i suoi indefinibili sono stati compresi. Gli indefinibili in “aRb” si introducono nel modo seguente: 1) “a” è indefinibile, 2) “b” è indefinibile 3) qualunque cosa significhino “x” e “y”, xRy esprime qualcosa di indefinibile sul loro significare. In logica non ci si occupa del rapporto tra qualunque nome specifico e il suo significato né del rapporto tra una determinata proposizione e la realtà. Vogliamo però sapere che i nostri nomi hanno significato e le nostre proposizioni senso, perciò introduciamo un concetto indefinibile “A”, dicendo “‘A’ indica qualcosa di indefinibile”, oppure la forma delle proposizioni aRb, dicendo “Per tutti i significati di ‘x’ e ‘y’, ‘xRy’ esprime qualcosa di indefinibile su x e y”.

Si può simboleggiare la forma della proposizione così: consideriamo i simboli della forma “xRy”, a cui corrispondono primariamente coppie di oggetti dei quali uno ha nome “x” e l’altro “y”. I valori di x e di y intrattengono molteplici relazioni reciproche, fra suddette relazioni la relazione R si instaura tra alcuni ma non tra altri valori di x e y. Determino ora il senso di “xRy” formulando la regola: quando i fatti si comportano rispetto a “xRy” in modo tale che il significato di “x” intrattiene la relazione R con il significato di “y”, allora dico che tali fatti sono “dello stesso senso” (''gleichsinnig'') della proposizione “xRy”; altrimenti, “di senso contrario” (''entgegengesetzt''). Riferisco i fatti al simbolo “xRy” dividendoli tra quelli di senso uguale e quelli di senso contrario. A tale correlazione corrisponde una correlazione tra nome e significato. Sono entrambe psicologiche. Comprendo dunque la forma “xRy” quando so cosa discrimina il comportamento di x e di y in base al loro intrattenere reciprocamente o meno la relazione R. Così estraggo tra tutte le relazioni possibili la relazione R, come servendomi di nome estraggo il suo significato tra tutte le cose possibili.

Non c’è ''cosa'' che sia ''forma'' di una proposizione e non c’è nome che sia nome di una forma. Quindi non si può dire che una relazione intrattenuta in certi casi tra cose si instauri talvolta tra forme e cose. Ciò va contro la teoria del giudizio di Russell.

I simboli non sono ciò che sembrano. In “aRb” “R” pare un sostantivo ma non lo è. Ciò che simbolizza in “aRb” è che “R” accade tra “a” “b”. Analogamente in “ϕx” “ϕ” sembra un sostantivo ma non lo è; in “~p” “~” sembra come “ϕ” ma non lo è. È questo il primo indizio che ''potrebbero'' non esserci costanti logiche. Argomento a loro sfavore è la generalità della logica: la logica non può occuparsi di un insieme speciale di cose.

All’utile proprietà di essere composti, i “complessi” di Russell dovevano combinare quella altrettanto simpatica di lasciarsi trattare come “semplici”. Basta questo però a renderli inservibili come tipi logici (forme), poiché in tal caso avrebbe senso asserire la complessità di un semplice. Ma una ''proprietà'' non può essere un tipo logico.

Una teoria falsa delle relazioni porta facilmente a credere che la relazione tra fatto e costituente sia la stessa che tra fatto e fatto-che-ne-consegue. Tra le due però c’è una somiglianza esprimibile così: <span class="nowrap">φa . ⊃_φ,α.a = a.</span>

Qualunque affermazione su complessi può risolversi nella somma logica di un’affermazione sui costituenti e DI un’affermazione sulla proposizione che descrive completamente il complesso. [''Cfr.'' 2.0201] Come procedere caso per caso con la risoluzione resta un quesito importante ma rispondervi non è strettamente necessario per la costruzione della logica. Ripeto: ogni proposizione che sembra un complesso può essere scomposta in una proposizione sui suoi costituenti e sulla proposizione che descrive compiutamente il composto; ovvero alla proposizione equivalente all’affermazione dell’esistenza del complesso.

Qualunque cosa corrisponda nella realtà a proposizioni composte non deve essere più di ciò che corrisponde alle loro varie proposizioni atomiche. Le proposizioni molecolari non contengono nulla più di ciò che contengono i loro atomi; non aggiungono alcun’informazione materiale oltre a quella contenuta nei loro atomi. Tutto ciò che è essenziale delle funzioni molecolari è il loro schema V-F (vero-falso, cioè l’affermazione dei casi dove sono vere e l’affermazione dei casi dove sono false). È probabile ''a priori'' che l’introduzione delle proposizioni atomiche sia fondamentale per la comprensione di tutti gli altri tipi di proposizioni. Infatti la comprensione delle proposizioni generali dipende ovviamente da quella delle proposizioni atomiche. [''Cfr.'' 4.411]

Un motivo per considerare sbagliata la vecchia notazione è l’estrema improbabilità che da ogni proposizione p consegua un numero infinito di altre proposizioni non-non-p, non-non-non-non-p etc. [''Cfr.'' 5.43] La stessa possibilità della spiegazione di Frege di “non-p” e “se p allora q”, da cui consegue che “non-non-p” denota lo stesso di p, rende probabile l’esistenza di qualche metodo di designazione in cui “non-non-p” corrisponde allo stesso simbolo di “p”. Se tale metodo di designazione basta per la logica, allora dev’essere quello corretto.

Se p = non-non-p, etc., si dimostra la fallacia del metodo tradizionale del simbolismo, poiché implica per uno stesso senso una molteplicità di simboli; quindi nell’analisi di tali proposizioni il simbolismo di Russell non va seguito.

Nominare è come indicare. Una funzione è come una retta che divide i punti di un piano tra destra e sinistra; “p o non-p” non ha quindi significato poiché non divide il piano. Sebbene una proposizione particolare “p o non-p” è priva di significato, d’altro canto una proposizione generale “Per tutti i p, p o non-p” un significato ce l’ha, perché quest’ultima non contiene la funzione priva di senso “p o non-p” bensì la funzione “p o non-q”, come “per tutte le x, xRx” contiene la funzione “xRy”.

Se vere le deduzioni logiche possono procedere secondo le leggi dell’inferenza di Frege e Russell, ma ciò non giustifica la deduzione; quindi non si tratta di proposizioni primitive della logica. Se p segue da q, lo si può dedurre da q, e la “modalità di deduzione” è indifferente. [''Cfr''. 5.132]

La ragione per cui “~Socrate” non significa nulla è che “~x” non esprime alcuna proprietà di x. Segni delle forme “p v ~p” sono privi di senso, ma non la proposizione “(p) p v ~p”. Se so che questa rosa è o rossa o non rossa, non so nulla. [''Cfr.'' 4.461] Lo stesso vale per tutte le funzioni ab. L’ipotesi dell’esistenza di oggetti logici rende notevole che nelle scienze proposizioni della forma di “p v q”, “p ⊃ q”, etc., sono da ritenersi non provvisorie solo finché “v” o “⊃” restano nell’ambito di segni di generalità (variabile apparente). Che “o” e “non”, etc. non sono relazioni alla stregua di “destra” e “sinistra”, etc. è ovvio a chiunque. La possibilità di definizioni incrociate mostra da sola che i vecchi indefinibili logici non sono corretti in quanto indefinibili e, in maniera ancora più palese, che non denotano relazioni. [''Cfr.'' 5.42] Gli indefinibili logici non possono essere predicati o relazioni, poiché le proposizioni, a causa del loro avere senso, non possono avere predicati o relazioni. Neppure si può dire che “non” e “o”, come giudizi, sono ''analoghi'' a predicati e relazioni, visto che non introducono nulla di nuovo.

Al posto di ogni proposizione “p” scriviamo “<math>^{a}_{b}p</math>”. Ogni correlazione reciproca tra proposizioni o nomi si effettuerà attraverso una correlazione dei poli “a” e “b”. Sarà una correlazione transitiva. Di conseguenza “<math>^{a-a}_{b-b}p</math>” è lo stesso simbolo di “<math>^{a}_{b}p</math>”. Date n proposizioni determinate, chiamiamo “classe di poli” di tali proposizioni ogni classe di n membri, di cui ognuno è un polo delle proposizioni n, così che ogni membro corrisponde a ogni proposizione. Poi collego a ogni classe di poli uno dei due poli (a e b). Il senso del fatto simbolizzante costruito in tal modo non posso definirlo, ma lo conosco.

Il senso di una funzione ab di p è una funzione del senso di p. [''Cfr.'' 5.2341] Le funzioni ab si servono della distinzione dei fatti prodotti dai loro argomenti per generare nuove distinzioni. La notazione ab mostra la dipendenza di “o” e “non” e quindi che non si possono impiegare “o” e “non” quali indefinibili simultanei.

A ogni funzione molecolare corrisponde uno schema VF (o ab). Possiamo dunque utilizzare lo schema VF stesso invece della funzione. Lo schema VF serve a collegare le lettere V e F con ogni proposizione. Queste due lettere sono i poli delle proposizioni atomiche. Lo schema poi correla altri V e F a questi poli. In tale notazione importa soltanto la correlazione dei poli esterni ai poli delle proposizioni atomiche. Perciò non-non-p è lo stesso simbolo di p. Quindi non dovremmo mai avere due simboli per la stessa funzione molecolare. Poiché le funzioni ab (VF) delle proposizioni atomiche sono ancora proposizioni bipolari, su di loro possiamo compiere operazioni ab. Così facendo correliamo i nuovi poli esterni tramite i vecchi poli interni ai poli delle proposizioni atomiche. Il fatto simbolizzante in a-p-b è che ''per esempio'' a è a sinistra di p e b a sinistra di p. [Ciò è del tutto arbitrario, ma una volta fissato l’ordine in cui situare i poli, naturalmente bisogna rispettare la convenzione. Se per esempio “apb” dice p, allora bpa non dice ''alcunché'' (''non'' dice ~p). Ma a-apb-b è lo stesso simbolo di apb (qui la funzione ab automaticamente svanisce) perché nel presente caso i nuovi poli sono correlati allo stesso lato di p dei vecchi poli. La domanda è sempre: come si correlano i nuovi poli a p rispetto a come si correlano i vecchi poli a p?] Poi, data apb, la correlazione dei nuovi poli dev’essere transitiva, in modo che se per esempio un nuovo polo è correlato in qualunque modo, cioè tramite qualunque polo, all’interno di a, il simbolo resta invariato. Poiché dunque è possibile costruire tutte le funzioni ab compiendo ripetutamente un’operazione ab, si considerano tutte le funzioni ab come la tutte le funzioni ottenibili compiendo ripetutamente tale operazione ab (''Cfr.'' gli studi di Sheffer).

Essendo le funzioni ab di p ancora una volta proposizioni bipolari, possiamo servircene per formare funzioni ab, e avanti così. Sorgerà così una serie di proposizioni in cui, in generale, i fatti ''simbolizzanti'' saranno gli stessi in vari membri. Se a questo punto troviamo una funzione ab di tale genere da permetterci con le sue ripetute applicazioni di ottenere ogni funzione ab, allora possiamo introdurre la totalità delle funzioni ab come la totalità di quelle generate con l’applicazione di suddetta funzione. Tale funzione è ~p V ~q. È facile ipotizzare una contraddizione nel fatto che, da un lato, ogni proposizione complessa possibile è una semplice funzione ab di proposizioni semplici e che, d’altro canto, a generare tutte queste proposizioni basta la ripetuta applicazione di una funzione ab. Se per esempio un’affermazione può essere generata da una doppia negazione, la negazione è un senso contenuto nell’affermazione? “P” nega “non-p” o afferma “p”, o entrambe? [''Vedi'' 5.44] Come stanno le cose nella definizione di “⊃”, “v” e “~”, oppure di “v” tramite “~” o “⊃”? Per esempio come introdurremo p|q (cioè ~p v ~q) se non dicendo che tale espressione afferma qualcosa di indefinibile riguardo tutti gli argomenti di p e q? Le funzioni ab però devono venire introdotte nel modo seguente: La funzione p|q è solo un dispositivo per costruire tutti i possibili ''simboli'' di funzioni ab. I simboli generati dalla ripetuta applicazione del simbolo “|” ''non'' contengono il simbolo “p|q”. Serve una regola per formare tutti i simboli di funzioni ab, in modo da rendere possibile parlare delle loro classi; e ne parliamo per esempio come di quei simboli di funzioni che possono venire generati da ripetuta applicazioni dell’operazione “|”. Affermiamo così: Per tutti i p e i q, “p|q” dice qualcosa di indefinibile sul senso delle proposizioni semplici contenute in p e q.

Come un tempo le persone faticavano ad adeguare ogni proposizione alla forma soggetto-predicato, così oggi si tende a concepire qualunque proposizione come esprimente una relazione, assunto altrettanto errato. La parte sensata di tale impulso risulta pienamente soddisfatta dalla teoria delle relazioni artificiali di Russell.

Non esistono proposizioni contenenti variabili reali. I simboli chiamati proposizioni in cui “ci sono variabili” non sono in realtà proposizioni, ma schemi di proposizioni i quali, a meno di rimpiazzare le variabili con costanti, restano tali. Nessuna proposizione è espressa da “x=x”, poiché “x” è privo di significato. Esiste però la proposizione “(x).x = x” e proposizioni quali “Socrate = Socrate”, etc. Nei libri di logica non dovrebbero esserci variabili, ma solo proposizioni generali giustificanti l’uso di variabili. Ne consegue che le cosiddette definizioni in logica non sono definizioni ma solo schemi di definizioni e bisognerebbe sostituirle con proposizioni generali. Parimenti le cosiddette idee primitive (''Urzeichen'') della logica non sono idee primitive bensì schemi delle suddette. L’assunto errato che ci siano ''cose'' chiamate fatti o complessi o relazioni porta facilmente a credere che ci debba essere una relazione di interrogazione ai fatti, da cui sorge la domanda se possa istituirsi una relazione tra un numero arbitrario di cose, dato che un fatto può conseguire da casi arbitrari. È un fatto che la proposizione la quale per esempio esprime che q segue da p e p ⊃ q è questa: <span class="nowrap">p . p ⊃ q. ⊃_p,q. q.</span>

L’interdefinibilità nel dominio delle proposizioni generali porta a quesiti simili nel dominio delle funzioni ab. Per le variabili apparenti agli indefinibili classici sorge la stessa obiezione che per le funzioni molecolari. L’applicazione della notazione ab a proposizioni con variabili apparenti si chiarisce se consideriamo per esempio che la proposizione “per tutte le x, ϕx” deve essere vera quando ϕx è vera per tutte le x e falsa quando ϕx è falsa per alcune x. Notiamo che ''alcune'' e ''tutte'' compaiono contemporaneamente nella stessa notazione delle variabili apparenti. La notazione è

Un’obiezione molto naturale al modo in cui abbiamo introdotto per esempio le proposizioni della forma xRy è che proposizioni quali (∃x,y)xRy e simili, nonostante abbiano ovviamente in comune con aRb quanto cRd ha in comune con aRb, non risultano spiegate. ''D’altronde'' nell’introdurre proposizioni della forma xRy non si è menzionata nessuna proposizione specifica di tale forma; e bisogna solo introdurre (x,y)ϕ(x,y) per tutte le ϕ in qualsiasi modo in grado di rendere il senso di tali proposizioni dipendente dal senso di tutte le proposizioni della forma ϕ(a,b), ed ecco giustificato il nostro modo di procedere.

<p style="text-align: center;" id="nol-5">'''V Principi di simbolismo: cos’è a simboleggiare in un simbolo. Fatti tramite fatti'''</p>

È facile ipotizzare che solo i simboli contenenti nomi di oggetti siano complessi e che di conseguenza “”(x,φ)φx” o “(∃x,y)xRy” debbano essere semplici. È allora naturale considerare il primo nome di una forma e invece il secondo nome di una relazione. Ma in tal caso qual ''è'' il significato per esempio di “~(∃x,y).xRy”? Possiamo mettere “non” davanti a un nome? L’indefinibilità alternata mostra che gli indefinibili non sono ancora stati raggiunti. [''Cfr.'' 5.42] Gli indefinibili della logica devono essere reciprocamente indipendenti. Se viene introdotto un indefinibile, va introdotto in tutte le combinazioni in cui può comparire. Non possiamo dunque introdurlo prima per una combinazione, poi per un’altra; se per esempio è stata introdotta la forma xRy, deve d’ora in poi essere compresa in proposizioni della forma aRb nello stesso identico modo in cui la si comprende in proposizioni quali (∃x,y)xRy e altre. Non dobbiamo introdurla per una classe di casi prima, poi per un’altra; altrimenti si avrebbe ragione di dubitare se il suo significato sia o meno lo stesso nei due diversi frangenti e se non ci sia davvero motivo per utilizzare la stessa combinazione simbolica. In breve, per l’introduzione di simboli indefinibili e combinazioni di simboli vale la stessa regola, ''mutatis mutandis'', formulata da Frege per l’introduzione di simboli tramite definizioni. [''Cfr.'' 5.451]

Non può mai esprimere la caratteristica comune di due oggetti il disegnarli con lo stesso nome ma tramite due modalità differenti di designazione, poiché essendo i nomi arbitrari potremmo anche sceglierne altri e a quel punto dove sarebbe l’elemento comune tra le varie designazioni? [''Cfr.'' 3.322] Ciononostante in caso di difficoltà si è sempre tentati di rifugiarsi in modi diversi di designazione.

Bisogna ricordare che i nomi non sono cose ma classi: “A” è lo stesso della lettera “A”. [''Cfr.'' 3.203] Questa ha conseguenze fondamentali in ogni linguaggio simbolico.

Per la notazione è importante osservare che non ogni tratto di un simbolo simboleggia. In due funzioni molecolari dallo stesso schemaV-F, ciò che simboleggia dev’essere identico. In “non-non-p”, “non-p” non c’è; poiché “non-non-p” è identico a “p” e quindi, se in “non-non-p” ci fosse “non p”, ricorrerebbe anche in “p”.

Un simbolo complesso non deve mai essere introdotto quale indefinibile singolo. Così per esempio nessuna proposizione è indefinibile. Perché se una delle parti di un simbolo complesso ricorre anche in un’altra connessione, deve venire reintrodotta. Ma in tal caso avrebbe lo stesso significato? I modi con cui introduciamo gli indefinibili devono permetterci di costruire tutte le proposizioni che hanno senso a partire da tali indefinibili ''soltanto''. È facile introdurre “tutti” e “alcuni” per rendere la costruzione (ad esempio) di “(x,y).xRy” possibile a partire da “tutti” e “xRy” ''come se fossero stati introdotti prima''.

Solo fatti possono esprimere senso, non una classe di nomi. [''Cfr.'' 3.142] Mostrarlo è facile. In aRb non è il complesso a simboleggiare ma lo stare del simbolo a in una certa relazione al simbolo b. Dunque fatti sono simboleggiati da fatti, o meglio: che una tal cosa accade in un simbolo dice che una tal cosa accade nel mondo.

Riesce facile ipotizzare che “individuale”, “particolare”, “complesso”, etc. siano idee primitive della logica. Per esempio Russell dice che “individuale” e “matrice” sono “idee primitive”. Presumibilmente tale errore si spiega con il fatto che l’impiego di variabili al posto di segni di generalità porta a credere che la logica si occupi di cose da cui sono state tolte tutte le proprietà tranne la complessità. Si dimentica che gli indefinibili di simboli (''Urbilder von Zeichen'') ricorrono solo sotto il segno della generalità, mai al di fuori.

Una proposizione non può ricorrere in se stessa. Questo è l’assunto fondamentale della teoria dei tipi. [''Cfr.'' 3.332] In una proposizione data si convertano in variabili tutti gli indefinibili e poi si avrà una classe di proposizioni che non include tutte le proposizioni bensì un intero tipo. Se trasformiamo il costituente di una proposizione ϕ(a) in una variabile, allora avremo una classe <math>\hat{p}[( \exists x ) . \phi x = p]</math>. Questa classe generalmente dipende ancora da ciò che con notazione arbitraria si intende per “ϕx”. Ma se trasformiamo in variabili tutti i simboli la cui significazione era stata determinata arbitrariamente, tale classe persiste. Ciò però non dipende più da una qualche convenzione, bensì dalla natura del simbolo “ϕx” che corrisponde a un tipo logico. [''Cfr.'' 3.315]

In due modi si somigliano i segni. I nomi “Socrate” e “Platone” sono simili: sono entrambi nomi. Ma qualunque cosa abbiano in comune non deve venire introdotta prima dell’introduzione di “Socrate” e “Platone”. Lo stesso vale per la forma soggetto-predicato, etc. Quindi cosa, proposizione, forma soggetto-predicato, etc. non sono indefinibili, ovvero i tipi non sono mai indefinibili.

L’essenziale di una corretta notazione delle variabili apparenti è questo: 1) deve menzionare un tipo di proposizione, 2) deve mostrare quali componenti (forme e costituenti) di una proposizione di tale tipo sono costanti. Prendiamo (ϕ)ϕ!x. Se descriviamo il ''genere'' di simboli per cui sta ϕ, il che come detto è sufficiente a determinare il tipo, allora automaticamente tale descrizione non può combaciare a “(ϕ)ϕ!x”, poiché ''contiene'' “ϕ!x” e una descrizione deve descrivere ''tutto'' ciò che simboleggia in simboli quali ϕ!x. Se la descrizione è compiuta in tal modo, i circoli viziosi possono verificarsi tanto poco quanto per esempio (ϕ).(x)ϕ dove (x)ϕ è una proposizione soggetto-predicato.

Non si può mai distinguere un tipo logico da un altro attribuendo a membri dell’uno proprietà negate ai membri dell’altro. I tipi non possono mai essere reciprocamente distinti dicendo (come si fa oggi) che uno ha talune proprietà ''ma'' l’altro ne ha talaltre, poiché ciò presuppone un ''significato'' nell’affermare tutte queste proprietà di entrambi i tipi. [''Cfr.'' 4.1241] Ne consegue perlomeno che tali proprietà possono essere tipi ma certamente non gli oggetti di cui sono asserite.