MLavazza

›Chromatische Zahl‹: fiktive Bezeichnung einer Zahl, die vielleicht durch kein Gesetz, keine Rechnung gegeben ist. Im Notizbuch schreibt W., unter anderem:

Man könnte fragen: Was sagt (x)2x=x+x? Es sagt, daß alle Gleichungen von der Form 2x-x+x richtig sind. Aber heißt das etwas? Kann man sagen: Ja, ich sehe daß alle Gleichungen von dieser Form richtig sind, so kann ich jetzt schreiben ›(x)2x= x+x‹?

Ihre Bedeutung muß aus ihrem Beweis hervorgehen. Was der Beweis beweist, das ist die Bedeutung des Satzes (nicht mehr und nicht weniger) ...

Der algebraische Beweis war die allgemeine Form eines Beweises, den ich auf jede Zahl anwenden kann. Wenn ich auf diesen Beweis hin sage, ich habe demonstriert, ›es gibt keine chromatische Zahl‹, dann sagt dieser Satz offenbar etwas anderes als ›~ (Ir.) • Chr n‹. Und was sagt dann der Satz: ›es gibt eine chromatische Zahl? Er sollte doch das Gegenteil dessen behaupten, was jener Beweis demonstriert. Dann aber sagt er nicht ›(En) • Chr n.‹

Wenn man den falschen Übergang von dem variablen Satz zum allgemeinen Satz macht (wie Russell und Whitehead es erlaubt erklärten), dann scheint der Beweis nur eine Erkenntnisquelle des allgemeinen Satzes, statt die Analyse seines eigentlichen Sinnes.

Dann könnte man auch sagen: der Sacz ist vielleicht richtig, obwohl man ihn nicht beweisen kann.

Wenn dieser Beweis den Satz liefert: Fa + fa, was ist nun hievon das Gegenteil? (doch - in unserem Sinne - nicht Fa = fa). Ich habe hier ja nur eine Form, von der ich bewiesen habe, daß sie gewisse Eigenschaften hat. Vermöge dieser Eigenschaften kann ich sie nun in gewisser Weise anwenden, nämlich um in jedem einzelnen Falle zu zeigen, daß die betreffende Zahl nicht chromatisch ist. Jene Form kann ich zwar verneinen, aber das gibt nicht den gewünschten Sinn, und nun kann ich nur noch den Beweis verneinen. Was heißt das aber? Es heißt natürlich nicht, daß er falsch – fehlerhaft – geführt ist, sondern daß er sich nicht führen läßt. Das heißt dann: Aus den Formen, um die es sich handelt, geht diese Ungleichheit nicht hervor; die Formen schließen die Ungleichheit nicht aus. Aber wer denn sonst? hängt denn die Entwicklung von noch etwas anderem ab? Kann es also sein, daß die Gleichheit nicht vorhanden ist und die Form sie nicht ausschließt?