Tratado lógico-filosófico: Difference between revisions

'''2.0121'''

Aparecería, por así  decir, como casualidad, cuando a la cosa, que podría darse sola por sí misma,  le correspondiera posteriormente una situación [''Sachlage''][5].

Si las cosas pueden  ocurrir en estados de las cosas, entonces esto debe residir ya en ellas.

(Algo lógico no puede ser  solo-posible. La lógica trata de cada posibilidad y todas las posibilidades  son sus hechos).

Igual que no podemos  pensar en absoluto objetos espaciales al margen del espacio, temporales al  margen del tiempo, tampoco podemos pensar ningún objeto al margen de la posibilidad de  su conexión con otros.

Si puedo pensar el objeto  en el contexto [''Verband''] del estado de las cosas, entonces no  puedo pensar al margen de la posibilidad de este contexto.

'''2.0123'''

Si conozco un objeto,  entonces también conozco el conjunto de posibilidades de su aparición en  estados de las cosas.

(Cada una de tales  posibilidades debe residir en la  naturaleza del objeto).

No puede ser encontrada  una nueva posibilidad con posterioridad.

'''2.0131'''

El objeto espacial debe residir en el  espacio infinito. (El punto espacial es una postura argumentativa [''Argumentstelle'']^{^[6]}).

La mancha en el campo visual no tiene  por qué ser roja, pero debe tener un color: esta tiene, por así decirlo, el  espacio de color en sí. El tono tiene que tener una altura, el  objeto del tacto una dureza, etc.

'''2.02331'''

O bien una cosa tiene cualidades que  no tiene ninguna otra, por lo que uno puede destacarla respecto a las otras mediante  una descripción sin más y aludir a ello; o bien hay varias cosas que tienen  todas sus cualidades en común, por lo que es entonces imposible señalar una  de ellas.

Pues si la cosa no es destacada por  nada, entonces no la puedo destacar, pues de otra forma estaría precisamente destacada.

'''2.06'''

El darse y no darse [''Nichtbestehen''] de los estados de las  cosas es la realidad [''Wirklichkeit''].

(Llamamos al darse de estados de las cosas  un hecho positivo, al no darse uno negativo).

'''2.15'''

Que los elementos de la imagen se  comporten entre sí de manera determinada representa que las cosas se  comportan entre sí de esa manera.

Esta relación de los elementos de la  imagen se llama su estructura y su posibilidad, la forma de la ilustración [''Abbildung''].

'''3.11'''

Usamos la señal perceptible para los  sentidos (señal escrita, acústica, etc.) de la proposición como proyección de  la situación posible.

El método de proyección es el pensar  del sentido de la proposición [''Satz-Sinnes''].

'''3.13'''

A la proposición le pertenece todo lo  que le pertenece a la proyección, pero no lo proyectado.

Es decir, la posibilidad de lo  proyectado, pero no este en sí mismo.

En la proposición, por lo tanto, no  está todavía contenido su sentido, pero si la posibilidad de expresarlo.

(«El contenido de la proposición» significa  el contenido de la proposición significativa [''sinnvoll'']).

En la proposición está contenida la  forma de su sentido, pero no su contenido.

'''3.14'''

El signo proposicional consiste en  que sus elementos, las palabras, se comportan en él entre sí de una manera  determinada.

El signo proposicional es un hecho.

'''3.141'''

La proposición no es una mezcla de  palabras. (Igual que una pieza musical no es una mezcla de tonos).

La proposición está articulada.

'''3.143'''

Que el signo proposicional es un  hecho, está velado por la forma de expresión habitual de la escritura o de la  impresión.

Pues en una proposición impresa, por  ejemplo, el signo proposicional no parece esencialmente diferente de la  palabra.

(Así era posible que Frege llamase a  la proposición un nombre compuesto).

'''3.1431'''

El ser [''Wesen''] del signo proposicional se volverá muy claro cuando lo  pensemos, en lugar de como signos de escritura, como objetos espaciales (por  ejemplo mesas, sillas, libros) combinados.

La posición espacial recíproca de  estas cosas expresa entonces el sentido de la proposición.

'''3.144'''

[Las] situaciones se pueden  describir, no nombrar.

([Los] nombres se asemejan a puntos;  proposiciones, a flechas, estas tienen sentido).

'''3.24'''

La proposición que trata del complejo  está en relación interna con la proposición que trata de sus partes  constitutivas.

El complejo puede ser dado solo  mediante su descripción, y esta será cierta o no será cierta. La proposición  en la cual se trata un complejo, cuando este no existe, será, no absurda [''unsinnig''], sino simplemente falsa.

Que un elemento proposicional señale un  complejo se puede ver en una indeterminación en las proposiciones en las que ocurre.  Nosotros sabemos [que] mediante  esta proposición no está todo determinado. (La designación de la generalidad ya  contiene un arquetipo [''Urbild'']).

El resumen del símbolo de un complejo  en un símbolo sencillo puede ser expresado mediante una definición.

'''3.261'''

Cada signo definido señala mediante aquellos signos a través de los cuales ha sido definido; y las  definiciones indican el camino.

Dos signos, un signo primitivo y uno  definido mediante un signo primitivo no pueden señalar de la misma manera. [Los]  nombres no se pueden  descomponer mediante definiciones. (Ningún signo, que solo, independiente,  tenga un significado [se puede descomponer]).

'''3.31'''

Cada parte de la proposición que  caracteriza su sentido la llamo un término [''Ausdruck''] (un símbolo).

(La propia proposición es un  término).

Término es todo [aquello] esencial  para el sentido de la proposición que las proposiciones pueden tener en común  entre sí.

El término delimita una forma y un  contenido.

'''3.312'''

Así, será representado mediante la  forma general de las proposiciones que él caracteriza.

Y, ciertamente, el término en esta  forma será constante y todo  lo demás variable.

'''3.313'''

Así, el término es representado  mediante una variable cuyos valores son las proposiciones que el término  contiene.

(En el caso límite, la variable se vuelve  constante; el término, proposición).

Tal variable la llamo «variable  proposicional» [''Satzvariable''].

'''3.314'''

El término solo tiene significado en  una proposición. Cada variable se puede comprender como variable  proposicional.

(También el nombre variable [''der variable Name'']).

'''3.317'''

El establecimiento de los valores de  la variable proposicional es la indicación  de las proposiciones, cuya característica común es la variable.

El establecimiento es una descripción  de estas proposiciones.

Así, el establecimiento tratará solo de  los símbolos, no de su significado.

Y solo esto es esencial para el establecimiento, que él solo es una descripción de símbolos y no  dice nada sobre lo señalado''.''

Cómo aparezca la descripción de las  proposiciones es inesencial.

'''3.323'''

En el lenguaje coloquial ocurre extremadamente  a menudo que la misma palabra señala de diferentes maneras (es decir, que  pertenece a distintos símbolos) o que dos palabras que señalan de distinta  manera, se usan extrínsecamente de la misma manera en una proposición.

Así aparece la palabra «es» como cópula,  como signo de igualdad y como expresión de la existencia [''Existenz'']; «existir» [''existieren''] como verbo intransitivo  igual que «ir»; «idéntico» como adjetivo; hablamos de algo, pero también de que algo ocurre.

(En la proposición «Verde es verde»  –donde la primera es palabra un antropónimo; la última, un adjetivo– no  tienen estas palabras simplemente distinto significado, sino que son distintos símbolos.

'''3.325'''

Para evitar estos errores, debemos  usar un lenguaje de signos que los excluya, en tanto que no use  extrínsecamente de la misma manera el mismo signo en distintos símbolos, ni  signos que señalan de distinta manera. Un lenguaje de signos, por lo tanto,  que obedezca a la gramática lógica  (a la sintaxis lógica).

(La escritura de signos de Frege y  Russel es un lenguaje tal, que sin embargo no excluye todavía todos los  errores).

'''3.328'''

Si un signo no  es usado, entonces es  insignificante [''bedeutungslos''].  Este es el sentido de la ley de Occam[10].

(Cuando todo se comporta como si un  signo tuviera significado, entonces este tiene también significado).

'''3.333'''

Por eso una función no puede ser su  propio argumento, porque el signo de la función ya contiene el arquetipo de  su argumento y este no puede contenerse a sí mismo.

Supongamos, por ejemplo, la función ''F'' (''fx'')  pudiera ser su propio argumento; en ese caso habría entonces una proposición  «''F'' (''F'' (''fx''))» y, en esta, la  función externa ''F'' y la función  interna ''F'' deberían tener distintos  significados, por lo que la interna tiene la forma ''φ''(''fx''); la externa, la  forma ''ψ''(''φ''(''fx'')). En conjunto es  la letra «''F''», que, sin embargo, no  señala nada, para las dos funciones.

Esto se vuelve claro inmediatamente,  cuando en lugar de «''F(F(u))''» escribimos «(∃''φ'') : ''F'' (''φu'')  . ''φu'' = ''Fu''».

Así se resuelve la paradoja de  Russell.

'''3.34'''

La proposición posee características  [''Züge''] esenciales y accidentales.

Accidentales son las características  que proceden del tipo especial de producción del signo de la proposición.  Esenciales aquellas que solas facultan a la proposición para expresar su sentido.

'''3.341'''

Lo esencial en la proposición es,  pues, aquello que todas las proposiciones que pueden expresar el mismo  sentido tienen en común.

E igualmente es en general lo  esencial en el símbolo aquello que todos los símbolos que pueden cumplir el  mismo fin tienen en común.

'''3.3441'''

Se puede, por ejemplo, expresar lo  común de todas las notaciones para las funciones de la verdad así: les es  común que todos pueden ser sustituidos,  por ejemplo, mediante la notación de «~''p''»  («no ''p''») y «''p'' ∨  ''q''» («''p'' o ''q''»).

(Con esto es delimitada la manera como  una posible notación especial nos puede dar explicaciones generales).

'''3.42'''

Aunque la proposición solo debe  determinar un sitio del espacio lógico, aun así todo el espacio lógico debe  ya estar dado a través de ella.

(De no ser así, nuevos elementos –en  coordinación– serían introducidos constantemente mediante la negación, la  suma lógica, el producto lógico, etc.).

(El armazón lógico alrededor de la  imagen determina el espacio lógico. La proposición impone todo el espacio  lógico).

'''4.002'''

El ser humano [''Mensch''] posee la facultad para construir lenguajes con los que  puede expresar cualquier sentido, sin tener una idea [''Ahnung''] de cómo y qué significa cada palabra. Como también uno  habla sin saber cómo son producidos los sonidos individuales.

El lenguaje coloquial es una parte  del organismo humano y no menos complicado que este.

Es humanamente imposible extraer de  manera inmediata la lógica del lenguaje a partir de este.

El lenguaje reviste al pensamiento. Y  lo hace de tal manera, que se puede inferir a partir de la forma exterior del  vestido, no de la forma del revestido pensamiento; porque la forma externa  del vestido está construida para finalidades completamente distintas que  dejar que se reconozca la forma del cuerpo.

Los convenios tácitos para el  entendimiento del lenguaje coloquial son enormemente complicados.

'''4.003'''

La mayoría de proposiciones y  preguntas que han sido escritas sobre cosas [''Dinge'']^{^[11]}  filosóficas no son falsas, sino absurdas. Por lo tanto, no podemos en  absoluto responder preguntas de este tipo, sino solo establecer su absurdidad.  La mayoría de preguntas y proposiciones de los filósofos residen en que no  comprendemos nuestra lógica del lenguaje.

(Ellas son del tipo de preguntas, si  el bien es más o menos idéntico que lo bello).

Y no es sorprendente que los  problemas más profundos en el fondo no son problemas.

'''4.01'''

La proposición es una imagen de la  realidad.

La proposición es un modelo de la  realidad tal y como nosotros la pensamos.

'''4.011'''

A primera vista, la proposición (como  aparece, por ejemplo, impresa en el papel) no parece ser una imagen de la  realidad de la que trata. Pero tampoco la notación musical parece ser una  imagen de la música a primera vista ni nuestra escritura de fonogramas (de letras),  una imagen de nuestro lenguaje hablado.

Y aun así estos lenguajes de signos  se manifiestan también en el sentido habitual como imágenes de aquello que  representan.

'''4.013'''

Y cuando profundizamos en lo esencial  de esta capacidad figurativa [''Bildhaftigkeit''],  entonces vemos que ella misma no  se ve afectada por las irregularidades  aparentes (como la utilización de ♯ y ♭en la partitura).

Pues también estas irregularidades  constituyen lo que deben expresar, solo que de otra manera.

'''4.014'''

El disco plano del gramófono, el  pensamiento musical, la notación musical, las ondas sonoras están todos entre  sí en aquella relación ilustrativa interna que se da entre el lenguaje y el  mundo.

A todos ellos es común la  construcción lógica.

(Como los dos jóvenes, sus dos  caballos y sus lirios en el cuento[12]. Todos ellos  son en cierto sentido uno).

'''4.022'''

La proposición muestra [''zeigt''] su significado.

La proposición muestra cómo se comporta cuando es verdadera. Y dice  que así se comporta.

'''4.023'''

La realidad debe ser fijada mediante  la proposición en [un] sí o [un] no.

Para ello, ella [la realidad] debe  ser descrita completamente por ella [la proposición].^{^[13]} La proposición es la  descripción de un estado de las cosas.

Como la descripción [describe] un  objeto según sus cualidades externas, así la proposición describe la realidad  según sus cualidades internas.

La proposición construye un mundo con  ayuda de un armazón lógico y por eso se puede ver también en la proposición  cómo se comporta todo lo lógico [''Logisches''],  cuando es verdadero. Se pueden extraer  conclusiones de una proposición falsa.

'''4.024'''

Entender una proposición significa  saber qué es el caso cuando esta es verdadera.

(Uno puede así entenderla sin saber  si es verdadera).

Uno la entiende, cuando entiende sus  partes constitutivas.

'''4.025'''

La traducción de un lenguaje a otro  no se realiza al traducirse cada proposición de una a una proposición de la otra, sino que solo  son traducidas las partes constitutivas de la proposición.

(Y el diccionario traduce no solo  sustantivos, sino también verbos, adjetivos y conjunciones etc. y los trata a  todos igual).

'''4.026'''

Los significados de los signos  simples (las palabras) deben sernos explicados [para] que los entendamos.

Sin embargo, con las proposiciones  nos entendemos nosotros.

'''4.03'''

Una proposición debe comunicarnos un  nuevo sentido con términos antiguos. La proposición nos comunica una  situación, por lo que debe estar relacionado esencialmente con la situación.

Y la relación es sencillamente, que  ella [la proposición] es su imagen lógica.

La proposición expresa algo solo en  tanto que es una imagen.

'''4.031'''

En la proposición, una situación es  en cierto modo combinada a modo de ensayo.

Se puede incluso decir, en lugar de:  esta proposición tiene este y este significado; esta proposición representa  esta y esta situación.

'''4.0312'''

La posibilidad de la proposición  reside en el principio de representación de objetos a través de signos.

Mi idea fundamental es que las  «constantes lógicas» no representan. Que la lógica de los hechos no se puede representar.

'''4.032'''

Solo en la medida en que es la  proposición una imagen de una situación está esta lógicamente articulada.

(También la proposición «''ambulo''»[14] está  compuesta, pues su raíz con otra terminación y su terminación con otra raíz  dan lugar a un significado distinto).

'''4.04'''

En la proposición debe haber  exactamente tanto por diferenciar como en la situación que ella representa.

Ambas deben tener la misma  multiplicidad lógica (matemática). (Compárese la mecánica de Hertz sobre  modelos dinámicos).

'''4.0411'''

Quisiéramos, por ejemplo, expresar lo  que expresamos mediante «(''x'')''fx''», [expresarlo] mediante la  introducción de un índice ante «''fx''»  (algo así como «Gen. ''fx''», no sería  suficiente), no sabríamos que ha sido generalizado. Quisiéramos indicarlo  mediante un índice «''a''» (algo así  como «''f'' (''x_a'')» tampoco sería suficiente), no sabríamos el campo  de designación de la generalidad.

Quisiéramos intentarlo mediante la  introducción de una marca en la posición argumentativa (algo así como «(''A'', ''A'')  . ''F'' (''A'', ''A'')», no sería  suficiente), no podríamos establecer la identidad de la variable. Etc.

Todas estas formas de designación no  son suficientes, porque no tienen la multiplicidad matemática necesaria.

'''4.061'''

Si no se tiene en cuenta que la  proposición tiene un sentido independiente de los hechos, entonces se puede  creer fácilmente, que verdadero y falso son relaciones igualmente  justificadas de signos y señalados.

Se podría entonces, por ejemplo,  decir, que «''p''» señala de manera  verdadera lo que «~''p''» de manera  falsa, etc.

'''4.0621'''

Sin embargo, que los signos «''p''» y «~''p''» puedan decir  lo mismo es importante. Pues muestra que nada corresponde al signo «~» en la  realidad.

Que en una proposición ocurra la  negación tampoco es una característica de su sentido (~~''p'' = ''p'').

Las proposiciones «''p''» y «~''p''» tienen sentidos contrarios, pero les corresponde una y la  misma realidad.

'''4.063'''

Una imagen para explicar el concepto  de verdad [''Wahrheitsbegriff'']:  mancha negra en un papel blanco; la forma de la mancha se puede describir al  señalar para cada punto si es blanco o negro. Al hecho de que un punto sea  negro corresponde un hecho positivo, al que un punto sea blanco (no negro), uno  negativo. Si señalo un punto en la superficie (un valor de verdad fregiano),  entonces esto corresponde a la presunción que es dispuesta a juicio, etc.,  etc.

Sin embargo, para poder decir, si un  punto es negro o blanco, debo primeramente saber, cuando se llama a un punto  negro y cuando blanco; para poder decir: «''p''»  es verdadero (o falso), debo haber determinado bajo qué circunstancias llamo  «''p''» verdadero, y con ello determino  el sentido de la proposición.

El punto en el que el símil se rompe  es ahora este: podemos mostrar un punto del papel, incluso sin saber, que es  blanco y negro; pero a una proposición sin sentido no corresponde  absolutamente nada, pues no señala a ninguna cosa (valor de verdad) cuyas cualidades  se llamaban algo así como «falso» o «verdadero»: el verbo [''Verbum''] de una proposición no es «es  verdadero» o «es falso» (como creía Frege), sino que lo que «es verdadero»  debe contenerlo ya el verbo.

'''4.0641'''

Se podría decir: la negación se  refiere ya al sitio lógico que la proposición negada determina.

La proposición negadora [''verneinende''] determina otro  sitio lógico que la negada [''verneinte''].

La proposición negadora determina un  sitio lógico con ayuda del sitio lógico de la proposición negada, en tanto  que ella describe a aquel fuera de este.

Que la proposición negada se pueda  volver a negar muestra ya que lo que es negado ya es una proposición y no  primeramente la preparación para una proposición.

'''4.111'''

La filosofía no es ninguna de las  ciencias de la naturaleza.

(La palabra «filosofía» debe  significar algo que se encuentre sobre o bajo, pero no junto a las ciencias  de la naturaleza).

'''4.112'''

La finalidad de la filosofía es la  aclaración lógica de los pensamientos.

La filosofía no es ninguna doctrina,  sino una actividad.

Una obra filosófica consiste  esencialmente en explicaciones.

El resultado de la filosofía no son  «proposiciones filosóficas», sino el esclarecimiento de las proposiciones.

La filosofía debe aclarar y delimitar  incisivamente los pensamientos que de otra manera son, por así decirlo,  nublados y difusos.

'''4.1121'''

La psicología no está más emparentada  con la filosofía que cualquier otra ciencia de la naturaleza.

Teoría del conocimiento es la  filosofía de la psicología.

¿No corresponde mi estudio del  lenguaje de signos al estudio de los procesos de pensamiento que los  filósofos consideraban tan fundamentales para la filosofía de la lógica? Solo  que ellos se complican principalmente con investigaciones psicológicas  insignificantes y hay un peligro análogo también en mi método.

'''4.12'''

La proposición puede representar la  realidad completa, pero no puede representar lo que debe tener en común con  la realidad para poder representarla: la forma lógica.

Para poder representar la forma  lógica, deberíamos poder colocarnos fuera de la lógica con la proposición,  esto es, fuera del mundo.

'''4.121'''

La proposición no puede representar  la forma lógica, ella [la forma lógica] se refleja en ella [la proposición].^{^[17]}

Lo que se refleja en el lenguaje, no  lo puede representar.

Lo que se expresa en el  lenguaje, no lo podemos nosotros  expresar mediante ella [la forma lógica].

La proposición muestra la forma lógica de la  realidad. La exhibe.

'''4.1211'''

Así, muestra una proposición «''fa''» que el objeto ''a'' ocurre en su sentido, dos proposiciones «''fa''» y «''ga''», que en  ellas dos se trata del mismo objeto.

Cuando dos proposiciones se  contradicen mutuamente, entonces esto muestra su estructura; igualmente,  cuando una se sigue de la otra, etc.

'''4.122'''

Podemos hablar en cierto sentido de  cualidades formales de los objetos y los estados de las cosas, en su caso, de  cualidades de la estructura de los hechos, y en el mismo sentido, de  relaciones formales y relaciones de estructuras.

(En lugar de cualidad de la  estructura digo también «cualidad interna»; en lugar de relación de  estructuras, «relación interna».

Introduzco estos términos para  mostrar la razón de la confusión, muy extendida entre los filósofos, entre  las relaciones internas y las relaciones propiamente dichas (externas)).

Sin embargo, el darse de tales  cualidades y relaciones internas no puede ser afirmado mediante  proposiciones, sino que se muestra en las proposiciones que representan aquellos  estados de las cosas y que tratan de aquellos objetos.

'''4.123'''

Una cualidad es interna cuando es  impensable que su objeto no la posea.

(Este color azul y aquel están en la  relación interna de más claro y más oscuro por sí mismos [''eo ipso'']. Es impensable que estos dos objetos no estuvieran en esta  relación).

(Aquí corresponde al fluctuante uso  de la palabra «cualidad» y «relación» el fluctuante uso de la palabra  «objeto»).

'''4.124'''

El darse de una cualidad interna de  una situación posible no es expresado mediante una proposición, sino que se  expresa en la proposición que la^{^[18]} representa mediante una  cualidad interna de esta.

Sería tan absurdo atribuir una  cualidad formal a la proposición como privarle de ella.

'''4.1252'''

Series que están ordenadas mediante  relaciones internas las  llamo series de formas [''Formenreihen''].

La serie de los números no está  ordenada según una relación externa, sino según una interna.

Igualmente la serie de proposiciones  «''aRb''», «(∃''x'') : ''aRx'' . ''xRb''», «(∃''x'', ''y'') : ''aRx'' . ''xRy'' . ''yRb''», etc.

(Encuéntrese ''b'' en una de estas relaciones respecto a ''a'', entonces llamo a ''b''  un sucesor de ''a'').

'''4.126'''

En el sentido en el que hablamos de  cualidades formales podemos también hablar ahora de conceptos [''Begriffe''] formales.

(Introduzco este término para aclarar  la razón de la confusión de los conceptos formales con los conceptos  propiamente dichos, que se extiende por toda la lógica antigua).

Que algo caiga bajo un concepto  formal como su objeto no puede ser expresado mediante una proposición. Más  bien se muestra en el signo de este mismo objeto. (El nombre muestra que  señala un objeto; el numeral, que señala un número, etc.).

Los conceptos formales no pueden  pues, como los conceptos propiamente dichos, ser representados por una  función.

Pues sus características, las  cualidades formales, no son expresadas mediante funciones.

El término de la cualidad formal es  un rasgo de ciertos símbolos.

El signo de las características de un  concepto formal es, por lo tanto, un rasgo característico de todos los  símbolos cuyos significados caen bajo el concepto.

El término del concepto formal, por  lo tanto, una variable proposicional, en la cual solo este rasgo es  constante.^{^[19]}

'''4.1271'''

Cada variable es el signo de un  concepto formal.

Pues cada variable representa una  forma constante, la cual todos sus valores poseen, y que puede ser tomada  como cualidad formal de estos valores.

'''4.1272'''

Así, el nombre variable «''x''» es el signo propiamente dicho del  concepto aparente [''Scheinbegriff''] objeto.

Siempre que la palabra «objeto»  («cosa» [''Ding''], «cosa» [''Sache''], etc.) es usada correctamente,  es expresada en la escritura conceptual mediante el nombre variable.

Por ejemplo, en la proposición «hay 2  objetos, los cuales… » mediante «∃''x'', ''y''…».

Siempre que sea usada de otra manera,  así como palabra conceptual propiamente dicha, surgen proposiciones aparentes  [''Scheinsätze''] absurdas.

Así, no se puede decir, por ejemplo,  «hay objetos», como si uno dijera algo así como «hay libros». Y mucho menos  «hay 100 objetos» o «hay ℵ₀ objetos».

Y es absurdo hablar del número de todos los objetos.

Lo mismo es válido de las palabras  «complejo», «hecho», «función», «número», etc.

Todas ellas señalan conceptos  formales y son representadas en la escritura conceptual mediante variables,  no mediante funciones o clases. (Como Frege y Russell creían).

Términos como «1 es un número», «solo  hay un cero» y todos los similares son absurdos.

(Tan absurdo es decir «solo hay un  1», como absurdo sería decir 2 + 2 es a las 3 horas, igual a 4).

'''4.1273'''

Si queremos expresar la proposición  general «''b'' es un sucesor de ''a''» en la escritura conceptual,  entonces necesitamos para ello un término para el miembro general de la serie  formal: ''aRb'', (∃''x'') : ''aRx''.''xRb'', (∃''x'', ''y'') : ''aRx''.''xRy''.''yRb'',… El miembro general de una serie  formal se puede expresar solo mediante una variable, pues el concepto miembro  de esta serie formal, es un concepto formal.  (Esto se les ha escapado a Frege y Russell; la manera en la que ellos quieren  expresar proposiciones generales como las arriba mencionadas, es por lo tanto  falsa; contiene un círculo vicioso [''circulus vitiosus'']).

Podemos determinar el miembro general  de la serie formal, dando su primer miembro y la forma general de la  operación por la que, a partir de la proposición anterior, se produce el  miembro siguiente.

'''4.1274'''

La pregunta por la existencia de un  concepto formal es absurda. Pues ninguna proposición puede responder tal  pregunta.

(No se puede preguntar, por ejemplo,  «¿hay proposiciones de sujeto y predicado no analizables?»).

'''4.121'''

Las formas lógicas son ''in''contables.

Por eso no hay en la lógica números  extraordinarios y por eso no hay ningún monismo o dualismo filosófico, etc.

'''4.221'''

Es evidente que, en el análisis de  las proposiciones, debemos llegar a las proposiciones elementales, que consisten  en nombres en conexión inmediata.

Surge la pregunta aquí sobre cómo se  lleva a cabo la asociación de proposiciones.

'''4.24'''

Los nombres son símbolos sencillos,  yo los denoto mediante letras individuales («''x''», «''y''», «''z''»).

Escribo la proposición elemental como  función del nombre en la forma: «''fx''»,  «''φ''(''x, y'')», etc.

O la denoto mediante las letras ''p'', ''q'',  ''r''.

'''4.241'''

Si utilizo dos signos en uno y el  mismo significado, entonces expreso esto en tanto que pongo entre ambos el  signo «=».

«''a''  = ''b''» significa, por lo tanto: el  signo «''a''» es sustituible por el  signo «''b''».

(Si introduzco mediante una igualdad  un nuevo signo «''b''», en tanto que  determino que debe sustituir un signo «''a''»  ya conocido, entonces escribo la igualdad ‒ definición ‒ (como Russell) en la  forma «''a'' = ''b'' Def.». La definición es una regla de signos).

'''4.243'''

¿Podemos entender dos nombres sin  saber si señalan la misma cosa o dos cosas distintas? ¿Podemos entender una  proposición en la que ocurren dos nombres sin saber si significan lo mismo o  cosas distintas?

Si conozco, por ejemplo, el  significado de una palabra inglesa y una alemana del mismo significado,  entonces es imposible que no sepa que las dos mantienen el mismo significado;  es imposible que no pueda traducir una por otra.

Términos como «''a'' = ''a''» o derivados de  estos, no son ni proposiciones elementales ni, por otra parte, signos  significativos. (Esto se mostrará más tarde).

'' ''posibilidades.

Pueden darse todas las combinaciones  de los estados de las cosas, los otros no se dan.

Las posibilidades de verdad podemos  representarlas mediante esquemas del siguiente tipo («V» significa  «verdadero», «F», «falso». Las series de «V» y «F» bajo las series de  proposiciones elementales significan en simbolismo fácil de entender sus  posibilidades de verdad).

'''4.411'''

Es probable desde el comienzo que la  introducción de proposiciones elementales sea fundamental para el  entendimiento de todos los otros tipos de proposiciones. En efecto, el  entendimiento de las proposiciones generales depende sensiblemente del de las proposiciones  elementales.

'''4.42'''

'''4.43'''

La concordancia con las posibilidades  de verdad podemos expresarlas, en tanto que les adjudicamos en el esquema  algo así como la distinción «V» (verdadero).

La falta de esta distinción significa  la no concordancia.

'''4.431'''

El término de la concordancia y no  concordancia con las posibilidades de verdad de las proposiciones elementales  expresa las condiciones de verdad de la proposición.

La proposición es el término de sus  condiciones de posibilidad. (Por eso Frege la ha anticipado correctamente  como explicación de los signos de su escritura conceptual. Solo la  explicación del concepto de verdad de Frege es falso: si fueran «lo  verdadero» y «lo falso» objetos reales y los argumentos en ~''p'' etc., entonces la determinación del sentido  de «~''p''» según Frege no sería de  ninguna manera determinada).

'''4.441'''

Está claro que al complejo de signos  «F» y «V» no corresponde ningún objeto (o complejo de objetos); mucho menos  [signos tales] como las rayas horizontales y verticales o los paréntesis. No  hay «objetos lógicos».

[Lo] análogo es válido, obviamente,  para todos los signos que expresan como los esquemas de «F» y «V».

'''4.442'''

Es, por ejemplo,

un signo proposicional.

La «raya de juicio» de Frege «⊢» carece por completo lógicamente de  sentido, solo muestra en Frege (y Russell) que estos autores tienen las  proposiciones así señaladas por verdaderas. «⊢» pertenece, por lo tanto, tan poco  al armazón proposicional como, por así decirlo, el número de la proposición.  Es imposible que una proposición pueda decir de sí misma que es verdadera).

Si está establecido de una vez por  todas el orden de las posibilidades de verdad en el esquema mediante una regla  de combinación, entonces la última columna es por sí misma ya un término de  las condiciones de verdad. Si escribimos esta columna en una fila, entonces  el signo proposicional se vuelve:

«(VV‒V)(''p'', ''q'')» o, más  claramente, «(VVFV)(''p'', ''q'')».

(El número de posiciones en el  paréntesis de la izquierda está determinado por el número de miembros en el  de la derecha).

'''4.45'''

Para ''n'' proposiciones elementales hay ''L_n'' posibles grupos de condiciones de verdad.

Los grupos de condiciones de verdad,  los cuales pertenecen a las posibilidades de verdad de un número de  proposiciones elementales, se pueden ordenar en una serie.

'''4.46'''

Entre los posibles grupos de  condiciones de verdad hay dos casos extremos.

En uno de los casos, la proposición  es verdadera para todas las posibilidades de verdad de las proposiciones  elementales. Decimos [que] las posibilidades de verdad son tautológicas.

En el segundo caso, la proposición es  falsa para todas las posibilidades de verdad: las condiciones de verdad son contradictorias.

En el primer caso llamamos a la  proposición una tautología, en el segundo caso, una contradicción.

'''4.461'''

La proposición muestra lo que dice,  la tautología y la contradicción, [muestran] que no dicen nada.

La tautología no tiene condiciones de  verdad, pues ella es incondicionalmente verdadera; y la contradicción no es  verdadera bajo ninguna condición.

Tautología y contradicción son  carentes de sentido [''sinnlos''].

(Como el punto del que dos flechas  salen en direcciones opuestas).

(Yo no sé, por ejemplo, nada sobre el  tiempo [entiéndase, el climático], cuando sé que llueve o no llueve).

'''4.462'''

Tautología y contradicción no son  imágenes de la realidad. No representan ninguna situación posible. Pues  aquella permite cualquier  situación posible; esta, ninguna.

En la tautología se superan las  condiciones de la concordancia con el mundo ‒ la relación representativa ‒  mutuamente, de tal manera que ella no esté en ninguna relación representativa  para la realidad.

'''4.463'''

Las condiciones de verdad determinan  el espacio de juego que es dejado a los hechos mediante la proposición.

(La proposición, la imagen, el  modelo, son, en el sentido negativo, como un cuerpo sólido que limita la  libertad de movimiento de los otros; en el sentido positivo, como el espacio  limitado por la sustancia sólida, en el que un cuerpo tiene lugar).

La tautología deja todo el espacio  lógico ‒ ilimitado ‒ a la realidad; la contradicción rellena todo el espacio  lógico y no deja a la realidad ningún punto. Ninguno de los dos puede, por lo  tanto, determinar la realidad de ninguna manera.

'''4.464'''

La verdad de la tautología es cierta;  de la proposición, posible; de la contradicción, imposible.

(Cierta, posible, imposible: aquí  tenemos la marca de aquella gradación que necesitamos en la doctrina de la  probabilidad).

'''4.466'''

A una conexión lógica determinada de  signos le corresponde una conexión lógica determinada de sus significados; cada conexión arbitraria corresponde únicamente a  los signos no conectados.

Es decir, proposiciones que son  verdaderas para cada situación no pueden en ningún caso ser conexiones de  signos, pues en otro caso solo ciertas conexiones de objetos podrían  corresponderles.

(Y a ninguna conexión lógica le  corresponde ninguna conexión  de objetos).

Tautología y contradicción son los  casos límite de las conexiones de signos, es decir, su disolución.

'''4.5'''

Ahora parece ser posible indicar la forma  más general de la proposición [''allgemeinste  Satzform'']: es decir, dar una descripción de las proposiciones de cualquier tipo de lenguaje de  signos, de tal manera que cada posible sentido pueda ser expresado mediante  un símbolo al cual le encaje la descripción, y que cada símbolo, sobre el que  cabe la descripción, pueda expresar un sentido cuando los significados del  nombre sean escogidos respectivamente.

Está claro que, en la descripción de  la forma más general de la proposición, solo  lo esencial a ella debe ser descrito, en otro caso no sería, ciertamente, la  más general.

Que hay una forma general de la  proposición, es demostrado por [el hecho de] que no puede haber ninguna  proposición cuya forma no se pueda haber previsto (es decir, construido). La  forma general de la proposición es: se comporta así y así.

'''5'''

La proposición es una función de  verdad de las proposiciones elementales.

(La proposición elemental es una  función de verdad de sí misma).

'''5.02'''

Se tiende a  confundir los argumentos de las funciones con los índices de [los] nombres.  Reconozco ciertamente, tanto en el argumento como en el índice, el  significado del signo que los contiene.

En el «+''_c''» de Russel es, por  ejemplo, «''c''» un índice que apunta a  que el signo completo es el signo de adición para los números cardinales.  Pero esta designación radica en [un] convenio arbitrario y uno podría  escoger, en lugar de «+''_c''»,  un signo sencillo; en «~''p''», sin  embargo, «''p''» no es ningún índice,  sino un argumento: el sentido de «~''p''»  no puede ser entendido sin  que haya sido entendido anteriormente el sentido de «''p''». (En el nombre de Julio Cesar, «Julio» es un índice. El índice  es siempre una parte de una descripción del objeto, cuyo nombre le añadimos.  Por ejemplo, el Cesar al género de los Julios).

La confusión  entre argumento e índice subyace, si no me equivoco, en la teoría de Frege  sobre el significado de las proposiciones y las funciones. Para Frege, las  proposiciones de la lógica eran nombres y sus argumentos, los índices de  estos nombres.

'''5.101'''

Las funciones de verdad de cada  número de proposiciones elementales pueden ser escritas en un esquema del  siguiente tipo:

'''5.1241'''

«''p''  . ''q''» es una de las proposiciones,  las cuales afirman «''p''» y a la vez  una de las proposiciones, las cuales afirman «''q''».

Dos proposiciones son opuestas entre  sí, cuando no hay ninguna proposición significativa que las afirme a ambas.

Cada proposición que contradice a  otra, la niega.

'''5.1311'''

Si de ''p'' ∨ ''q'' y ~''p'' deducimos ''q'', entonces está aquí oculta mediante la forma de designación la  relación de las formas proposicionales de «''p'' ∨ ''q''» y «~''p''». Sin embargo, si, por ejemplo, en  lugar de «''p'' ∨ ''q''» escribimos «''p''<nowiki> |  </nowiki>''q''<nowiki> . | . </nowiki>''p''<nowiki> | </nowiki>''q''», y en lugar de  «~''p''» [escribimos] «''p''<nowiki> | </nowiki>''p''» (''p''<nowiki> | </nowiki>''p'' = ni ''p'' ni ''q''), entonces se  vuelve clara la relación interna.

(Que de (''x'') . ''fx'' se pueda  deducir ''fa'', eso muestra que la  generalidad está contenida también en el símbolo «(''x'') . ''fx''»).

'''5.132'''

Si se sigue ''p'' de ''q'', entonces puedo  derivar ''p'' de ''q''; inferir ''p'' de ''q''.

Este tipo de conclusión solo se  desprende de ambas proposiciones.

Solo ellas mismas pueden justificar  la conclusión.

«Leyes de derivación», las cuales ‒  como según Frege y Russell ‒ deban justificar las conclusiones, son carentes  de sentido y serían redundantes.

'''5.1361'''

Los eventos del futuro no los podemos descubrir desde los del  presente.

La creencia en el nexo causal es la superstición.

'''5.1362'''

El libre albedrío consiste en que las  acciones futuras no pueden ser conocidas ahora. Solo entonces podríamos  conocerlas, cuando la casualidad fuera una necesidad interna, como la de la conclusión  lógica. La relación entre el conocimiento y lo conocido es la de la necesidad  lógica.

(«A sabe que ''p'' es el caso» es carente de sentido cuando ''p'' es una tautología).

'''5.143'''

La contradicción es lo común de las  proposiciones, lo que ninguna  proposición tiene en común con otra. La tautología es lo común de todas las  proposiciones, las cuales no tienen nada en común entre ellas.

La contradicción desaparece, por así  decirlo, externamente, la tautología internamente a todas las proposiciones.

'''5.152'''

Proposiciones, las cuales no tengan  ningún argumento de verdad en común recíprocamente las llamamos recíprocamente  independientes.

De proposiciones recíprocamente independientes  (por ejemplo, dos proposiciones elementales cualesquiera) dan recíprocamente la  probabilidad ½.

Si se sigue ''p'' de ''q'', entonces la  proposición «''q''» da a la proposición  «''p''» la probabilidad 1. La certeza  de la conclusión lógica es un caso límite de la probabilidad.

(Aplicación a la tautología y  contradicción).

'''5.154'''

Encuéntrense en una urna el mismo  número de bolas blancas y negras (y ninguna otra). Cojo una bola tras otra y  las dejo de nuevo en la urna. Entonces puedo establecer mediante el intento,  que los números de bolas negras y blancas extraídas se acercan mutuamente con  las sucesivas extracciones.

Ahora bien, esto no es ningún hecho [''Faktum''] matemático.

Si ahora digo: es tan probable que  vaya a sacar una bola blanca como una negra, entonces eso significa: todas  las circunstancias por mí conocidas (incluyendo las leyes de la naturaleza  hipotéticamente aceptadas) no dan a la ocurrencia de un evento ninguna probabilidad  más que a la ocurrencia del otro. Esto significa que dan ‒ como es  fácilmente deducible de las explicaciones dadas más arriba ‒ a cada uno la  probabilidad ½.

Lo que confirmo mediante el intento  es que la ocurrencia de ambos eventos es independiente de las circunstancias  que yo no conozco de cerca.

'''5.156'''

Así la probabilidad es una  generalización.

Ella involucra una descripción  general de una forma proposicional. Solo en carencia de certeza necesitamos  la probabilidad. Cuando ciertamente no conocemos un hecho a la perfección,  pero sí sabemos algo sobre  su forma.

(Una proposición puede ciertamente  ser una imagen imperfecta de cierta situación, pero es siempre una imagen perfecta).

La proposición de probabilidad es en  cierto modo un extracto de otras proposiciones.

'''5.2341'''

El sentido de una función de verdad  de ''p'' es una función del sentido de ''p''.

Negación, adición lógica,  multiplicación lógica, etc., etc. son operaciones.

(La negación invierte el sentido de  la proposición).

'''5.24'''

La operación se muestra en una  variable; ella muestra cómo se puede llegar de una forma de proposiciones a  otra.

Ella expresa la diferencia de las  formas. (Y lo común entre las bases y el resultado de la operación son  simplemente las bases).

'''5.25'''

La ocurrencia de la operación no caracteriza  el sentido de la proposición.

La operación, pues, no manifiesta  nada, solo su resultado, y este depende de las bases de la operación.

(Operación y función no deben ser  confundidas entre sí).

'''5.2521'''

La aplicación continua de una  operación a su propio resultado la llamo su aplicación sucesiva [''successive Anwendung''] («O'O'O'<nowiki/>''a''» es el resultado de la triple  aplicación sucesiva de «O'''ξ''» a «''a''»).

En un sentido similar hablo de la  aplicación sucesiva de varias  operaciones a un número de proposiciones.

'''5.3'''

Todas las proposiciones son  resultados de operaciones de verdad con las proposiciones elementales.

La operación de verdad es la manera en  la que surge la función de verdad a partir de las proposiciones elementales.

Según el ser de la operación de  verdad llega a ser, de la misma manera que de las proposiciones elementales,  su función de verdad; de las funciones de verdad [llega a ser] una nueva.  Cada operación de verdad da lugar, a partir de funciones de verdad de  proposiciones elementales, de nuevo a una función de verdad de proposiciones  elementales, a una proposición. El resultado de cada operación de verdad con  los resultados de operaciones de verdad con proposiciones elementales es de  nuevo el resultado de una operación de verdad con proposiciones  elementales.

Cada proposición es el resultado de  operaciones de verdad con proposiciones elementales.

'''5.31'''

Los esquemas [del punto] número 4.31  tienen también un significado cuando «''p''»,  «''q''», «''r''», etc. no son proposiciones elementales.

Y es fácil ver que el signo  proposicional en [el] número 4.442, también cuando «''p''» y «''q''» son funciones  de verdad de proposiciones elementales, expresa una función de verdad de  proposiciones elementales.

'''5.42'''

Que ∨, ⊃, etc. no son relaciones en el  sentido de derecha e izquierda, etc. es obvio.

La posibilidad de la definición  cruzada de los «signos primitivos» de Frege y Russell ya muestra que estos no  son signos primitivos y, desde luego, que no señalan ninguna relación.

Y es evidente que el «⊃», que definimos mediante «~» y «∨», es idéntico con aquel mediante el  cual definimos «∨» con «~» y  que este «∨» es idéntico  con el primero. Etc.  

'''5.43'''

Que de un hecho ''p'' se debieran seguir una infinidad de otros [hechos], a saber, ~~''p''<nowiki>, ~~~~</nowiki>''p'', etc. es  ciertamente difícil de creer desde el principio. Y no menos curioso es que un  número infinito de proposiciones de la lógica (de las matemáticas) se sigan  de una media docena de «leyes fundamentales».

Sin embargo, todas las proposiciones  de la lógica dicen lo mismo. A saber, nada.

'''5.44'''

Las funciones de verdad no son  funciones materiales.  

Cuando uno puede dar lugar a, por  ejemplo, una afirmación mediante una doble negación, ¿está entonces la  negación – en un cierto sentido – contenida en la afirmación? ¿Niega «~~''p''» a ~''p'' o afirma ''p'', o ambos?

La proposición «~~''p''» no trata de la negación como de un  objeto; pero sí la posibilidad de la negación está prejuzgada ya en la  afirmación.

Y si hubiera un objeto que se llamase  «~», entonces debería «~~''p''» decir  algo distinto que «''p''». Pues una  proposición trataría entonces simplemente de ~, la otra no.

'''5.451'''

Si la lógica tiene conceptos  fundamentales, entonces deben ser independientes entre ellos. Si se introduce  un concepto fundamental, entonces debe ser introducido en todas las conexiones  en las que puede ocurrir en cualquier caso. No se puede, pues, introducirlo  primero para una conexión, luego otra vez para alguna  otra. Por ejemplo, si es introducida la negación, entonces debemos entenderla  ahora en proposiciones de la forma «~''p''»  igual que en proposiciones como «~(''p''  ∨ ''q'')», «(∃''x'') . ~''fx''», entre otras. No debemos  introducirla primero para una clase de casos, entonces para la otra, pues  entonces permanecería dudosa, si su significado en ambos casos fuera el mismo  y no hubiera disponible ninguna razón para usar en ambos casos el mismo tipo de  conexión de signos.

(Brevemente, para la introducción de  un signo primitivo vale, ''mutatis  mutandis'', lo mismo que Frege (Los fundamentos de la aritmética) ha  dicho para la introducción de signos mediante definiciones).  

'''5.452'''

La introducción de un nuevo recurso  en el simbolismo de la lógica debe siempre ser un evento de gran importancia.  Ningún nuevo recurso debe ser introducido en la lógica – por así decirlo, con  semblante completamente inocente – entre paréntesis o al pie de la línea.

(Así ocurren, en los ''Principia mathematica'' de  Russell y Whitehead, definiciones y leyes fundamentales en palabras. ¿Por qué  aquí, de repente, palabras? Esto requeriría una justificación. Esta falta y  debe faltar, dado que el procedimiento es, de hecho, ilícito.

Sin embargo, si se ha demostrado  necesaria la introducción de un nuevo recurso en una posición, entonces debe  uno preguntarse inmediatamente: ¿Dónde debe ser este recurso aplicado siempre? Su posición en la lógica ahora  debe ser explicada.

'''5.453'''

Todos los números de la lógica deben poder  ser justificados.

O, es más, se debe destacar que en la  lógica no hay ningún número.

No hay números distinguidos.

'''5.454'''

En la lógica no hay ninguna  coexistencia, no puede haber ninguna clasificación.

En la lógica no puede haber general y  especial.

'''5.4541'''

Las soluciones de los problemas  lógicos deben ser sencillas, pues asientan el estándar de la sencillez.

Los seres humanos siempre han intuido  que debería darse un ámbito de preguntas cuyas respuestas – ''a priori'' – [serían] simétricas y estuvieran  unidas[21] a una  estructura cerrada y regular.

Un ámbito, en el que valiese la  proposición: la sencillez es el signo de la verdad [''simplex sigillum veri'']''.''   

'''5.461'''

Es significativo el hecho aparentemente  insignificante de que las relaciones aparentes lógicas, como ∨ y ⊃, necesitan los paréntesis, al  contrario que las relaciones reales.

La utilización de los paréntesis con  aquellos signos primitivos aparentes denota ya además, que estos no son  signos primitivos reales. Y nadie creerá ciertamente, que los paréntesis  tienen un significado independiente.

'''5.47'''

Está claro que absolutamente todo lo  que se puede decir sobre la forma de todas las proposiciones desde el comienzo, se debe poder  decir de una vez.

Están ya, pues, todas las operaciones  lógicas contenidas en la proposición elemental. Pues «''fa''» dice lo mismo que «(∃''x'') . ''fx'' . ''x'' = ''a''».

Donde hay composicionalidad,[22] ahí hay  argumento y función, y donde están estos, están ya todas las constantes  lógicas.

Se podría decir: una constante lógica  es aquella, que todas las proposiciones, acorde a su  naturaleza, tienen mutuamente en común.

Esta es, sin embargo, la forma  proposicional más general.

'''5.473'''

La lógica debe preocuparse de sí  misma.

Un signo posible debe también poder señalar. Todo lo que es posible  en la lógica, también está permitido. («Sócrates es idéntico» no significa  nada, porque no hay ninguna cualidad que signifique «idéntico». La  proposición es absurda, porque no nos hemos encontrado una determinación  arbitraria, pero no porque el símbolo fuera ilícito en y por sí.

No podemos, en cierto sentido,  equivocarnos en la lógica.

'''5.47321'''

La navaja de Occam no es, obviamente,  ninguna regla arbitraria o justificada por su éxito práctico: ella dice que  unidades de signos innecesarias  no significan nada.

Signos que cumplen una finalidad, son lógicamente equivalentes; signos que no  cumplen ninguna  finalidad, lógicamente carentes de significado.

'''5.4733'''

Frege dice: cada proposición legítimamente  construida debe tener un sentido; y yo digo: cada proposición posible está legítimamente  construida, y cuando no tiene sentido, entonces esto solo puede residir en  que no le hemos dado a algunas de sus partes constitutivas ningún significado.

(También si creemos haberlo hecho).

Así, «Sócrates es idéntico» no dice  nada, porque no le hemos dado ningún  significado a la palabra «idéntico» como adjetivo.  Pues, cuando aparece como signo de igualdad, entonces simboliza de otra  manera completamente distinta – la relación señalada es otra – así es también  el símbolo en ambos casos completamente distinto; ambos símbolos solo tienen  en común el signo por casualidad.

'''5.5'''

Cada función de verdad es un  resultado de la aplicación sucesiva de la operación (‒ ‒ ‒ ‒ ‒V)(''ξ'', . . . .) a las proposiciones  elementales.

Esta operación niega todas las  proposiciones entre los paréntesis de la derecha y yo la llamo la negación de  estas proposiciones.

'''5.501'''

Un término entre paréntesis cuyos  miembros son proposiciones, lo denoto – cuando el orden de los miembros entre  paréntesis es igualmente válido – mediante un signo de la forma «(''ξ'')». «''ξ''» es  una variable cuyos valores son los miembros del término entre paréntesis, y  la barra sobre la variable indica que ella representa todos sus valores en  los paréntesis.

(Así, si tiene '''''ξ''''', digamos, los tres valores  P, Q, R, entonces es  

 = (''P'', ''Q'',  ''R'')).

Los valores de las variables son  establecidos.

El establecimiento es la descripción  de las proposiciones, las cuales la variable representa.

Cómo aparezca la descripción de los  miembros del término entre paréntesis, es irrelevante.

Podemos diferenciar tres tipos de descripción: 1. La  enumeración directa. En este caso podemos sencillamente poner, en lugar de  las variables, sus valores constantes. 2. La indicación de una función ''fx'' cuyos valores son las proposiciones  a describir para todos los valores de ''x''.  3. La indicación de una ley formal según la cual aquellas proposiciones son  construidas. En este caso, los miembros del término entre paréntesis son  todos los miembros de una serie de formas.

'''5.502'''

Así pues, escribo, en lugar de «(‒ ‒  ‒ ‒ ‒V)(''ξ'', . . . .)», «''N'' (    )».

«''N''  (    )» es la negación de todos los valores de la variable  proposicional '''''ξ'''''.

'''5.512'''

«~''p''»  es verdadero, si «''p''» es falso. Pues  en la proposición verdadera «~''p''» es  «''p''» una proposición falsa. ¿Cómo  puede la barra «~» hacerlo concordar con la realidad?

Lo que niega en «~''p''» no es, sin embargo, «~», sino  aquello que todos los signos de esta notación, las cuales niegan ''p'', tienen en común.

Así, la regla general según la cual  «~''p''<nowiki>», «~~~</nowiki>''p''», «~''p'' ∨ ~''p''»,  «~''p'' . ~''p''», etc. etc. (indefinidamente [''ad inf.'']) son construidas. Y esto común refleja la negación.

'''5.513'''

Se podría decir: lo común de todos  los símbolos que afirman tanto ''p''  como ''q'', es la proposición «''p'' . ''q''». Lo común de todos los símbolos que afirman o bien ''p'' o bien ''q'', es la proposición «''p'' ∨ ''q''».

Y así se puede decir: dos  proposiciones son recíprocamente contrarias, cuando no tienen nada en común  entre sí, y: cada proposición tiene solo un negativo, porque solo hay una  proposición que reside completamente fuera de sí.

Se muestra también en la notación de  Russell que «''q'' : ''p'' ∨ ~''p''»  dice lo mismo que «''q''»; que «''p'' ∨ ~''p''»  no dice nada.

'''5.515'''

Se debe mostrar en nuestros símbolos,  que lo que está conectado mutuamente mediante «∨», «.», etc. deben ser proposiciones.

Y este es también el caso, pues el  símbolo «''p''» y «''q''» presuponen ya en sí mismos el «∨», «~», etc. Cuando el signo «''p''» en «''p'' ∨ ''q''» no  representa un signo complejo, entonces no puede tener sentido solo; pero  entonces no podrían tampoco tener ningún sentido los signos «''p'' ∨ ''p''», «''p'' . ''p''», etc., con el mismo sentido que «''p''».

'''5.5151'''

¿Debe el signo de una proposición  negativa ser construido con el signo de la positiva? Por qué no se debería  poder expresar la proposición negativa mediante un hecho negativo. (Algo así  como: cuando «''a''» no está en una  cierta relación a «''b''», podría eso  expresar que ''aRb'' no es el caso».

Pero también aquí es ya la  proposición negativa construida indirectamente mediante la positiva.

La proposición positiva debe presuponer la existencia de la proposición negativa, y viceversa.

'''5.521'''

Separo el concepto Todos de la función de verdad.

Frege y Russell han introducido la  generalidad en conexión con el producto lógico o la suma lógica. Así era  difícil entender las proposiciones «(∃''x'') . ''fx''» y «(''x'') . ''fx''» en las cuales  ambas ideas están incluidas.

'''5.524'''

Cuando son dados los objetos,  entonces nos son ya dados así también todos  los objetos.

Cuando son dadas las proposiciones  elementales, entonces son con ello dadas también todas las proposiciones elementales.

'''5.525'''

Es incorrecto reproducir la  proposición «(∃''x'') . ''fx''» ‒ como hace Russell ‒ en palabras  mediante «''fx'' es imposible».

Certeza, posibilidad o imposibilidad  de una situación no es[23] expresada  mediante una proposición, sino en que un término es una tautología, una  proposición significativa, o una contradicción.

Aquel caso precedente, al que siempre  querría uno remitirse, debe encontrarse ya en el propio símbolo.

'''5.526'''

Uno puede describir el mundo al  completo mediante proposiciones generalizadas, esto significa, pues, sin  relacionar desde el principio un nombre cualquiera con un objeto determinado.

Para llegar entonces a la manera de  expresión habitual, se debe decir sencillamente según un término «hay una y  solo una ''x'', que . . . .»: y esta ''x'' es ''a''.

'''5.5261'''

Una proposición completamente  generalizada es compuesta como cualquier otra proposición. (Esto se muestra  en que, en «(∃''x'', ''φ'').''φx''»,  debemos nombrar por separado «''φ''» y  «''x''». Ambas se mantienen  independientes en relaciones señaladoras respecto al mundo, como en la  proposición no generalizada).

Señal [''Kennzeichen''] del símbolo compuesto: tiene algo en común con otros símbolos.

'''5.5262'''

La verdad o falsedad de cada proposición cambia  ciertamente algo en la construcción general del mundo. Y el espacio de juego [''Spielraum''], el cual le es dejado a su  construcción mediante la generalidad de las proposiciones elementales es  justamente aquel que limitan las proposiciones completamente generales.

(Cuando una proposición elemental es  verdadera, entonces es con ello en cada caso una proposición elemental más verdadera).

'''5.5301'''

Que la identidad no es ninguna  relación entre objetos, es convincente. Esto se vuelve muy claro cuando uno  observa, por ejemplo, la proposición «(''x'')  : ''fx''. ⊃ .''x''  = ''a''». Lo que esta proposición dice  es, sencillamente, que ''solo'' es  suficiente ''a'' de la función ''f'', y no que solo son suficiente tales  cosas de la función ''f'', las cuales  tienen una cierta relación respecto a ''a''.

Obviamente, se podría decir ahora que  solo ''a'' tiene esta relación  respecto a ''a'', pero para expresar  esto, necesitamos el propio signo de identidad.

'''5.532'''

Y análogamente: no «(∃''x'', ''y'') . ''f'' (''x'', ''y'') . ''x'' = ''y''», sino «(∃''x'') . ''f'' (''x'',  ''x'')»; y no «(∃''x'', ''y'') . ''f'' (''x'', ''y'') . ~''x'' = ''y''», sino «(∃''x'', ''y'') . ''f'' (''x'', ''y'')».