Quaderni 1914-1916: Difference between revisions

<p style="text-align: center;">''φ''a, ''φ''b, a R b = Def ''φ'' [a R b]</p>

“''φ''(''ψ''x)”: supponiamo che ci venga data la funzione di una proposizione soggetto-predicato, e che vogliamo chiarire il tipo di relazione che sussiste tra la funzione e la proposizione dicendo: la funzione si relaziona immediatamente solo con il soggetto della proposizione soggetto-predicato e ciò che indica è il prodotto logico che deriva da questa relazione e dal segno proposizionale soggetto-predicato. Se dicessimo questo, allora si potrebbe domandare: se puoi chiarire la proposizione in tal modo, perché non chiarisci anche il suo significato in maniera analoga? Ossia: “esso non è una funzione di un fatto del tipo soggetto-predicato, bensì il prodotto logico di un tale fatto e una funzione del suo soggetto”? L’obiezione che vale contro questa spiegazione- non deve valere anche contro quella?

''φ''a, ''ψ''b, a R b. Si potrebbe dire che lo stato di cose a R b abbia una certa proprietà nel caso in cui siano vere entrambe le prime due proposizioni.

Quando sia data una proposizione ''φ''a, con essa sono ''già'' date anche tutte le sue funzioni logiche (~''φ''a etc.)! <!--[''Cfr''. 5.442.]-->

<p style="text-align: center;">(∃''φ'') : . (∃ x) : ''φ''x : ''φ''y . ''φ''z . ⊃_{y, z} . y = z</p>

<p style="text-align: center;">(∃ ''φ'') . (∃ x) . ''φ''x</p>

<p style="text-align: center;">e: (∃ ''φ'') . (∃ x) . ~''φ''x.</p>

Prendiamo tuttavia le proposizioni: “(∃ ''φ'', x) . ''φ''x”

:e “~(∃ ''φ'', x) . ''φ''x”.

Pare però che la semplice esistenza delle forme contenute in “(∃ x, ''φ'') . ''φ''x” ''non'' possa ''da sola'' determinare la verità o la falsità di questa proposizione! Non appare quindi ''impensabile'' che, ad esempio, nessuna negazione di una proposizione elementare sia vera. Ma questa affermazione non riguarderebbe già il SENSO ''della negazione''?

Qui ho considerato le relazioni degli elementi proposizionali ai loro significati alla stregua di tentacoli, grazie ai quali la proposizione entra in contatto con il mondo esterno; e la generalizzazione di una proposizione equivale quindi al ritrarre i tentacoli; finché la proposizione assolutamente generale non resta completamente isolata. Ma questa immagine è corretta? (Davvero ritiro un tentacolo, quando invece di ''φ''a, dico (∃ x) . ''φ''x?) <!--[''Cfr.'' 2.1515.]-->

Ora pare però che precisamente quegli stessi motivi che io ho portato per mostrare che “(∃ x, ''φ'') . ''φ''x” non ''possa'' esser falsa, parlino anche a favore del fatto che “~(∃ x, ''φ'') . ''φ''x” non possa esser falsa; e qui si mostra un errore fondamentale. Poiché non si capisce perché proprio la prima proposizione, e non la seconda, debba essere una tautologia. Non si dimentichi che anche la contraddizione “p . ~p” etc. etc. non può esser vera eppure è a sua volta un costrutto logico.

“(∃ ''φ'') : (x) . ''φ''x” – riguardo a questa proposizione appare quasi certo che essa non è né una tautologia, né una contraddizione. Qui il problema si acuisce in misura inaudita.  

:(∃ x, y) . (∃ ''φ'') . x ≠ y . ''φ''x . ~''φ''y : ''φ''u . ''φ''z. ⊃_{u, z} . u = z

:(∃ ''φ'') . (''ψ'') . ''ψ'' = ''φ''

Non è sufficiente, sopra, la prima proposizione (∃x ,y, ''φ'') ''φ''x . ~''φ''y . x ≠ y? La difficoltà nell’identificazione può esser superata nel momento in cui il mondo intero viene descritto in ''una'' proposizione generale, che comincia: “(∃ x, y, z ... ''φ'', ''ψ'' ... R, S ...)” e poi segue un prodotto logico etc.

Quando diciamo “''φ'' è una funzione d’unità e (x) . ''φ''x”, ciò significa tanto quanto: “c’è soltanto una cosa”! (Con ciò abbiamo qui ''apparentemente'' aggirato la proposizione “(∃ x) (y) . y = x”.)

La proposizione costruisce un mondo con l’aiuto della sua armatura logica, e perciò si può vedere nella proposizione anche come si comporterebbe ogni elemento logico se essa fosse vera: da una proposizione falsa si possono ''trarre'' ''conclusioni'' etc. (Così posso vedere che, se “(x, ''φ'') . ''φ''x” fosse vera, questa proposizione sarebbe in contraddizione con una proposizione “''ψ''a”.) <!--[''Cfr.'' 4.023.]-->

Non è forse insensata la definizione dello zero di Russell? Si può in generale parlare di una classe <math>\hat{x} (x \ne x)</math>? Si può quindi parlare di una classe <math>\hat{x}(x = x)</math>? Quindi x ≠ x o x = x è una funzione di x?? Lo zero non dev’esser definito attraverso l’''ipotesi'' (∃''φ''):(x)~''φ''x? E l’analogo varrebbe per tutti gli altri numeri. Questo getta una luce su tutta la questione relativa all’esistenza di numeri di cose.

Io pensavo che la possibilità della verità di una proposizione ''φ''(a) fosse legata al fatto (∃ x, ''φ'') . ''φ''x: ma non si capisce perché ''φ''a dovrebbe essere possibile solo allorquando si dà un’altra proposizione della stessa forma. ''φ''a non ha bisogno di nessun precedente. (Poiché, posto che si diano solo le due proposizioni elementari “''φ''a” e “''ψ''a” e “''φ''a” sia falsa: perché questa proposizione dovrebbe aver un senso solo nel caso in cui “''ψ''a” sia vera?!)

Se noi volessimo esprimere quel che esprimiamo attraverso “(x) . ''φ''x” anteponendo un indice a ''φ''x, ad esempio “Gen. ''φ''x”, ciò non sarebbe sufficiente (non sapremmo che cosa viene generalizzato).

Se lo volessimo indicare attraverso un indice di “x”, ad esempio ''φ''(x_A), anche ciò non sarebbe sufficiente (in tal modo non conosceremmo il dominio della generalità).

Perché “''φ''(x̂)” non dovrebbe presentare come è (x) . ''φ''x? Non dipende qui tutto ''soltanto'' da ''come'' – in quale maniera – tale segno presenta qualcosa?

Posto che io volessi rappresentare quattro coppie di uomini che lottano, non lo potrei fare rappresentandone una sola e dicendo: “Hanno tutte e quattro hanno questo stesso aspetto”? (Con questa aggiunta determino il modo della rappresentazione.) (In maniera simile rappresento (x) . ''φ''x attraverso “''φ''(x̂)”.)

Si potrebbe dire: in “~''φ''(x)”, “''φ''(x)” presenta come ''non'' stanno le cose?

Una proposizione come “(∃ x, ''φ'') . ''φ''x” è appunto assemblata altrettanto bene quanto una elementare; ciò si mostra nel fatto che nella parentesi dobbiamo citare ''appositamente'' “''φ''” e “x”. Entrambi stanno – indipendentemente – in una relazione di designazione rispetto al mondo, proprio come nel caso di una proposizione elementare “''ψ''a”. <!--[''Cfr.'' 5.5261.]-->

Sembra come se “(x, ''φ'') . ''φ''x” fosse la forma di un fatto ''φ''a . ''ψ''b . ''θ''c etc. (Similmente (∃ x) . ''φ''x sarebbe la forma di ''φ''a, come effettivamente anch’io ho creduto.)

Esamina dunque la proposizione elementare: qual è dunque la forma di “''φ''a” e come si comporta rispetto a “~''φ''a”.

Infatti, quando è dato il fatto positivo ''φ''a, allora è data anche la ''possibilità'' di (x) . ''φ''x, ~(∃ x) . ''φ''x, ~''φ''a etc. etc. (Tutte le costanti logiche sono già contenute nella proposizione elementare.) <!--[''Cfr.'' 5.47.]-->

E qui il caso è assolutamente identico che in ~''φ''a, benché l’immagine tratti di ciò che non ''dovrebbe'' accadere, invece che di ciò che non accade.

x ≠ x. ≡_x. ''φ''x è identica a

(x) . ~''φ''x ? Certamente!

Posto che ''φ''a è vero, che vuol dire affermare che ~''φ''a è possibile?

(''φ''a ha essa stessa il medesimo significato di ~(~''φ''a).)

Che cosa so propriamente quando comprendo il senso di ''φ''a ma non so se è vera o falsa? In tal caso io non so niente di più che ''φ''a ∨ ~''φ''a; e ciò vuol dire che io non ''so'' nulla.

Che dalla ''proposizione'' “(x) . ''φ''x” si possa concludere alla ''proposizione'' “''φ''a” mostra come la generalità sia presente anche nel ''segno'' “(x) . ''φ''x”.

Che si verifichi ~''φ''a può essere desunto attraverso l’osservazione dei soli ''φ''x̂ e a.

Il temuto dualismo di positivo e negativo allora non sussiste, poiché (x) . ''φ''x etc. etc. non sono né positive, né negative.

Io credo che si potrebbe escludere del tutto il segno di uguaglianza dalla nostra notazione e alludere all’uguaglianza sempre solo attraverso l’uguaglianza dei segni (eventualmente). Allora ''φ''(a, a) non sarebbe chiaramente un caso particolare di (x, y) . ''φ''(x , y) e ''φ''a non lo sarebbe di (∃ x, y) . ''φ''x . ''φ''y. Allora però al posto di ''φ''x . ''φ''y ⊃_{x, y} x = y si potrebbe scrivere semplicemente ~(∃x, y) . ''φ''x . ''φ''y. <!--[''Cfr.'' 5.53 e 5.533.]-->

La classe di tutte le proposizioni della forma Fx è la proposizione (x)''φ''x.

Si pone infatti la questione: se le singole forme mi sono date per così dire nell’esperienza, allora non sono autorizzato a farne uso nella logica, allora non sono in effetti autorizzato a scrivere nessuna x e nessun ''φ''y. Ma questo non può proprio affatto essere evitato.

Chiesto di passaggio: la logica si occupa di determinati generi di funzioni e simili? E se no, che cosa significano in allora in logica Fx, ''φ''z e così via?

''Ogni'' proposizione semplice può essere trasporta nella forma ''φ''x.

''φ''(x): ''φ''( ), x

(∃x) . ''φ''x

(∃x) ''φ''x . x = a

''φ''x, ''ψ''y | ''χ''z , (∃x). , (x).

La somiglianza tra la designazione della generalità e l’argomento si mostra quando invece che ''φ''a scriviamo (ax)''φ''x. <!--[''Cfr.'' 5.523.]-->

Si potrebbero introdurre gli argomenti anche presentandoli solo da una parte del segno di uguaglianza. Ossia sempre analogamente a “(∃x) . ''φ''x . x = a” anziché “''φ''a”.